余弦定理教案
【简介】感谢网友“yuandx”参与投稿，下面是小编为大家推荐的余弦定理教案（共14篇），欢迎大家分享。
篇1：余弦定理教案
余弦定理教案
一、说教材 《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，实现了“边”与“角”的互化，从而使“三角”与“几何”产生联系，为求与三角形有关的量提供了理论依据，同时也为判断三角形形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的`认知结构，心理特征及原有知识水平，我将本课的教学目标定为： ⒈知识与技能：掌握余弦定理的内容及公式；能初步运用余弦定理解决一些斜三角形； ⒉过程与方法：在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。 ⒊情感、态度与价值观：培养学生的探索精神和创新意识；在运用余弦定理的过程中，让学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题，认识世界；通过本节的运用实践，体会数学的科学价值，应用价值； ⒋本节课的教学重点是：运用余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题，运用余弦定理解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。 ⒌本节课的教学难点是：灵活运用余弦定理解决相关的实际问题。 ⒍本节课的教学关键是:熟练掌握并灵活应用余弦定理解决相关的实际问题。 下面为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈篇2： 余弦定理教案
一、教材分析
本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理。平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。
在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。
二、教学目标的确定
基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者。引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：
1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；
2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；
3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、
三、教学方法的选择
基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。
在教学中利用计算机多媒体来辅助教学，充分发挥其快捷、生动、形象的特点。
四、教学过程的设计
为达到本节课的教学目标、突出重点、突破难点，在教材分析、确定教学目标和合理选择教法与学法的基础上，我把教学过程设计为以下四个阶段：创设情境、引入课题；探索研究、构建新知；例题讲解、巩固练习；课堂小结，布置作业。具体过程如下：
1、创设情境，引入课题
利用多媒体引出如下问题：
A地和B地之间隔着一个水塘现选择一地点C，可以测得的大小及，求A、B两地之间的距离c。
【设计意图】由于学生刚学过正弦定理，一定会采用刚学的知识解题，但由于无法找到一组已知的边及其所对角，从而产生疑惑，激发学生探索欲望。
2、探索研究、构建新知
（1）由于初中接触的是解直角三角形的问题，所以我将先带领学生从特殊情况为直角三角形（ ）时考虑。此时使用勾股定理，得。
（2）从直角三角形这一特殊情况出发，引导学生在一般三角形中构造直角即作边的高，从而在构造的直角三角形中利用勾股定理列出边之间的等式关系、
（3）考虑到我们所作的图为锐角三角形，讨论上述结论能否推广到在为钝角三角形（ ）中。
通过解决问题可以得到在任意三角形中都有，之后让同学们类比出……这样我就完成了对余弦定理的引入，之后总结给出余弦定理的内容及公式表示。
【设计意图】通过创设情景、引导学生探究出余弦定理这一数学体验，既可以培养学生分析问题的能力，也可以加深学生对余弦定理的认识、
在学生已学习了向量的基础上，考虑到新课改中要求使用新工具、新方法，我会引导同学类比向量法证明正弦定理的过程尝试使用向量的方法证明余弦定理、之后引导学生对余弦定理公式进行变形，用三边值来表示角的余弦值，给出余弦定理的第二种表示形式，这样就完成了新知的构建。
根据余弦定理的两种形式，我们可以利用余弦定理解决以下两类解斜三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知三角形两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
3、例题讲解、巩固练习
本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考交流、分析讲解以及反思小结，使学生初步掌握使用余弦定理解决问题的方法。其中例题先以学生自己思考解题为主，教师点评后再规范解题步骤及板书，课堂练习请同学们自主完成，并请同学上黑板板书，从而巩固余弦定理的运用。
例题讲解：
例1在中，
（1）已知，求；
（2）已知，求。
【设计意图】例题1分别是通过已知三角形两边及其夹角求第三边，已知三角形三边求其夹角，这样余弦定理的两个形式分别得到了运用，进而巩固了学生对余弦定理的运用。
例2对于例题1（2），求的大小。
【设计意图】已经求出了的度数，学生可能会有两种解法：运用正弦定理或运用余弦定理，比较正弦定理和余弦定理，发现使用余弦定理求解角的问题可以避免解的取舍问题。
例3使用余弦定理证明：在中，当为锐角时；当为钝角时，
【设计意图】例3通过对和的比较，体现了“余弦定理是勾股定理的推广”这一思想，进一步加深了对余弦定理的认识和理解。
课堂练习：
练习1在中，
（1）已知，求；
（2）已知，求。
【设计意图】检验学生是否掌握余弦定理的两个形式，巩固学生对余弦定理的运用。
练习2若三条线段长分别为5，6，7，则用这三条线段。
A、能组成直角三角形
B、能组成锐角三角形
C、能组成钝角三角形
D、不能组成三角形
【设计意图】与例题3相呼应。
练习3在中，已知，试求的大小。
【设计意图】要求灵活使用公式，对公式进行变形。
4、课堂小结，布置作业
先请同学对本节课所学内容进行小结，教师再对以下三个方面进行总结：
（1）余弦定理的内容和公式；
（2）余弦定理实质上是勾股定理的推广；
（3）余弦定理的可以解决的两类解斜三角形的问题。
通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。
布置作业
必做题：习题1、2、1、2、3、5、6；
选做题：习题1、2、12、13。
【设计意图】
作业分为必做题和选做题、针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高。
各位老师，以上所说只是我预设的一种方案，但课堂是千变万化的，会随着学生和教师的临时发挥而随机生成。预设效果如何，最终还有待于课堂教学实践的检验。
本说课一定存在诸多不足，恳请老师提出宝贵意见，谢谢。
篇3：余弦定理教学教案
目标
1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角
教学设想
[创设情景] C
如图1．1-4，在 ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和 C，求边c b a
A c B
[探索研究] (图1．1-4)
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A
如图1．1-5，设 ， ， ，那么 ，则
C B
(图1．1-5)
从而
同理可证
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若 ABC中，C= ，则 ，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
例题:例1．在 ABC中，已知 ， ， ，求b及A
⑴解：∵
= cos
= = 8 ∴
求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos ∴
解法二：∵sin 又∵ ＞
＜ ∴ ＜ ， 即 ＜ ＜ ∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形
解：由余弦定理的推论得：
cos ；
cos ；
[随堂练习]第51页练习第1、2、3题。
[补充练习]在 ABC中，若 ，求角A（答案：A=120 ）
[课堂小结]（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，
勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；
②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
（五）：作业：第52页[习题2.1]A组第5题。
三角形中的几何计算
教学目标
1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
教学重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。
教学设想:[创设情景]:思考：在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形。从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
[探索研究]:例1．在 ABC中，已知 ，讨论三角形解的情况
分析：先由 可进一步求出B；则 从而
1．当A为钝角或直角时，必须 才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，如果 ≥ ，那么只有一解；
如果 ，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若 ，则有两解；
（2）若 ，则只有一解； （3）若 ，则无解。
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在 ABC中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。
（2）在 ABC中，若 ， ， ，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在 ABC中， ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。 （答案：（1）有两解；（2）0；（3） ）
例2．在 ABC中，已知 ， ， ，判断 ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
（注意： ）
解： ，即 ，∴ 。
[随堂练习2]
（1）在 ABC中，已知 ，判断 ABC的类型。
（2）已知 ABC满足条件 ，判断 ABC的类型。
（答案：（1） ；（2） ABC是等腰或直角三角形）
例3．在 ABC中， ， ，面积为 ，求 的值
分析：可利用三角形面积定理 以及正弦定理
解：由 得 ，
则 =3，即 ，从而
[随堂练习3]
（1）在 ABC中，若 ， ，且此三角形的面积 ，求角C
（2）在 ABC中，其三边分别为a、b、c，三角形的面积 ，求角C
（答案：（1） 或 ；（2） ）
[课堂小结]（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，
有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
（五）课时作业:
（1）在 ABC中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
双曲线、抛物线的参数方程学案
第05时
2、2、2双曲线、抛物线的参数方程
学习目标
了解双曲线的参数方程的建立，熟悉抛物线参数方程的形式，会运用参数方程解决问题，进一步加深对参数方程的理解。
学习过程
一、学前准备
复习：复习抛物线的标准方程的四种形式，并填空：
（1） 表示顶点在 ，
焦点在 的抛物线；
（2） 表示顶点在 ，
焦点在 的抛物线。
二、新导学
探究新知（预习教材P12～P16，找出疑惑之处）
1、类比椭圆参数方程的建立，若给出一个三角公式 ，你能写出双曲线
的参数方程吗？
2、如图，设抛物线的普通方程为 , 为抛物线上除顶点外的任一点，以
射线 为终边的角记作 ，则 ，①
由 和①解出 得到：
（t为参数）
你能否根据本题的解题过程写出抛物线的四种不同形式方程对应的参数方程？并说出参数表示的意义。
应用示例
例1．如图， 是直角坐标原点，A ，B是抛物线 上异于顶点的两动点，且 ，求点A、B在什么位置时， 的面积最小？最小值是多少？
解：
反馈练习
1．求过P（0，1）到双曲线 的最小距离.
解：
三、总结提升
本节小结
1．本节学习了哪些内容？
答：1.了解双曲线的'参数方程的建立，熟悉抛物线参数方程的形式.
2.会运用参数方程解决问题，进一步加深对参数方程的理解。
学习评价
一、自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）
A．很好 B．较好 C． 一般 D．较差
后作业
1、已知抛物线 ，则它的焦点坐标为（ ）
A、B、
C、D、
2、对下列参数方程表示的图形说法正确的是（ ）
A、①是直线、②是椭圆
B、①是抛物线、②是椭圆或圆
C、①是抛物线的一部分、②是椭圆
D、①是抛物线的一部分、②是椭圆或圆
3.设P为等轴双曲线 上的一点， 为两个焦点，证明 .
4、经过抛物线 的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点的轨迹的参数方程。
高二数学2.4 二次分布学案
2.4 二项分布（二）
一、知识要点
1．独立重复试验
二、典型例题
例1．甲、乙两人进行五局三胜制的象棋比赛，若甲每盘的胜率为 ，乙每盘的胜率为 （和棋不算），求：
（1）比赛以甲比乙为3比0胜出的概率；
（2）比赛以甲比乙为3比2胜出的概率。
例2．某地区为下岗免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响。
（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（2）任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列。
例3．A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为 ，服用B有效的概率为 。
（1）求一个试验组为甲类组的概率；
（2）观察3个试验组，用X表示这3个试验组中甲类组的个数，求X的分布列。
三、巩固练习
1．某种小麦在田间出现自然变异植株的概率为0.0045，今调查该种小麦100株，试计算两株和两株以上变异植株的概率。
2．某批产品中有20%的不含格品，进行重复抽样检查，共取5个样品，其中不合格品数为X，试确定X的概率分布。
3．若一个人由于输血而引起不良反应的概率为0.001，求
（1）人中恰有2人引起不良反应的概率；
（2）2000人中多于1人引起不良反应的概率；
四、堂小结
五、后反思
六、后作业
1．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为（精确为0.0001）_________________。
2．一射击运动员射击时，击中10环的概率为0.7，击中9环的概率0.3，则该运动员射击3次所得环数之和不少于29环的概率为_______________。
3．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14。
其中正确结论的序号是_______________。（写出所有正确结论的序号）
4．某产品10，其中3次品，现依次从中随机抽取3（不放回），则3中恰有2次品的概率为_____________。
5．某射手每次射击击中目标的概率都是0.8，现在连续射击4次，求击中目标的次数X的概率分布。
6．某安全生产监督部门对6家小型煤矿进行安全检查（简称安检），若安检不合格，则必须进行整改，若整改后经复查仍不合格，则强行关闭，设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，每家煤矿整改前安检合格的概率是0.6，整改后安检合格的概率是0.9，计算：
（1）恰好有三家煤矿必须整改的概率；
（2）至少关闭一家煤矿的概率。（结果精确到0.01）
7．9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。
（1）求甲坑不需要补种的概率；
（2）求3个坑中需要补种的坑数X的分布列；
（3）求有坑需要补种的概率。（精确到0.001）
解三角形
一、目标
1、知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
2、过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。
3、情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
二、重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。
教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h 、h 、h ，那么它们如何用已知边和角表示？
生：h =bsinC=csinB，h =csinA=asinC，h =asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S= ah,应用以上求出的高的公式如h =bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S= absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
生：同理可得，S= bcsinA, S= acsinB
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
Ⅱ.探析新课
[范例讲解]
例1、在 ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm ）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ;（2）已知B=62.7 ,C=65.8 ,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：（1）应用S= acsinB，得 S= 14.8 23.5 sin148.5 ≈90.9(cm )
(2)根据正弦定理， = ，c = ，S = bcsinA = b
A = 180 -(B + C)= 180 -(62.7 + 65.8 )=51.5
S = 3.16 ≈4.0(cm )
(3)根据余弦定理的推论，得cosB = = ≈0.7697
sinB = ≈ ≈0.6384应用S= acsinB，得
S ≈ 41.4 38.7 0.6384≈511.4(cm )
例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm ）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，cosB= = ≈0.7532，sinB= 0.6578应用S= acsinB S ≈ 68 127 0.6578≈2840.38(m )
答：这个区域的面积是2840.38m 。
例3、在 ABC中，求证：（1） （2） + + =2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设 = = = k，显然 k 0，所以
左边= = =右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2(bc +ca +ab )
=(b +c - a )+(c +a -b )+(a +b -c )=a +b +c =左边
变式练习1：已知在 ABC中， B=30 ,b=6,c=6 ,求a及 ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9 ;a=12,S=18
Ⅲ.课堂练习：课本练习第1、2题
Ⅳ.课时小结：利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。
Ⅴ.课后作业：课本习题2-3 A组第12、14、15题
等比数列的概念及通项
M
课时20 等比数列的概念及通项
目标：1．掌握等比数列的概念。
2．能根据等比数列的通项公式，进行简单的应用。
过程：
1．观察以下数列：
1，2，4，8，16，……
3，3，3，3，……
2．相比与等差数列，以上数列有什么特点？
等比数列的定义：
定义的符号表示 ，注意点：① ，② 。
3．判断下列数列是否为等比数列，若是，请指出公比 的值。
（1）
（2）
（3）
（4）
4．求出下列等比数列的未知项。
（1） ； （2） 。
5．已知 是公比为 的等比数列，新数列 也是等比数列吗？如果是，公比是多少？
6．已知无穷等比数列 的首项为 ，公比为 。
（1）依次取出数列 中的所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？
（2）数列 （其中常数 ）是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？
二、通项公式
1．推导通项公式
例1．在等比数列 中，
（1）已知 ，求 ； （2）已知 ，求 。
例2．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这三个数。
例3．已知等比数列 的通项公式为 ，（1）求首项 和公比 ；
（2）问表示这个数列的点 在什么函数的图像上？
例4．类比等差数列填空：
等差数列等比数列
通项
定义从第二项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数。
首项，公差（比）
取值有无限制没有任何限制
相应图像的特点直线 上孤立的点
课后作业：
1． 成等比数列，则 = 。
2．在等比数列 中，
（1）已知 ，则 = ， = 。
（2）已知 ，则 = 。
（3）已知 ，则 = 。
3．设 是等比数列，判断下列命题是否正确？
（1） 是等比数列 （ ）； （2） 是等比数列 （ ）
（3） 是等比数列 （ ）； （4） 是等比数列 （ ）
（5） 是等比数列 （ ）； （6） 是等比数列 （ ）
4．设 成等比数列，公比 =2，则 = 。
5．在G.P 中，（1）已知 ，求 ；（2）已知 ，求 。
6．在两个同号的非零实数 和 之间插入2个数，使它们成等比数列，试用 表示这个等比数列的公比。
7．已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项，依次构成一个等比数列，求该等比数列的通项。
8．已知 五个数构成等比数列，求 的值。
9．在等比数列 中， ，求 。
10．三个正数成等差数列，它们的和为15，如果它们分别加上1，3，9就成等比数列，求这三个数。
11．已知等比数列 ，若 ，求公比 。
12．已知 ，点 在函数 的图像上，（ ），设 ，求证： 是等比数列。
问题统计与分析
平面向量的坐标表示
总 题向量的坐标表示总时第23时
分 题平面向量的坐标运算分时第2时
目标掌握平面向量的坐标表示及坐标运算
重点难点掌握平面向量的坐标表示及坐标运算；平面向量坐标表示的理解
引入新
1、在直角坐标平面内一点 是如何表示的？ 。
2、以原点 为起点， 为终点，能不能也用坐标表示 呢？例：
3、平面向量的坐标表示。
4、平面向量的坐标运算。
已知 、、实数 ，那么
例题剖析
例1、如图，已知 是坐标原点，点 在第一象限， ， ，求向量 的坐标。
例2、如图，已知 ， ， ， ，求向量 ， ， ， 的坐标。
例3、用向量的坐标运算解：如图，质量为 的物体静止的放在斜面上，斜面与水平面的夹角为 ，求斜面对物体的摩擦力 。
例4、已知 ， ， 是直线 上一点，且 ，求点 的坐标。
巩固练习
1、与向量平行的单位向量为（ ）
、、、或 、
2、已知 是坐标原点，点 在第二象限， ， ，求向量 的坐标。
3、已知四边形 的顶点分别为 ， ， ， ，求向量 ， 的坐标，并证明四边形 是平行四边形。
4、已知作用在原点的三个力 ， ， ，求它们的合力的坐标。
5、已知 是坐标原点， ， ，且 ，求 的坐标。
堂小结
平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。
后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、若向量 ， ，则 ， 的坐标分别为（ ）
2、已知 ，终点坐标是 ，则起点坐标是 。
3、已知 ， ，向量 与 相等.则 。
4、已知点 ， ， ，则 。
5、已知 的终点在以 ， 为端点的线段上，则 的最大值和最小值分别等于 。
6、已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，求第四个顶点 的坐标。
7、已知向量 ， ，点 为坐标原点，若向量 ， ，求向量 的坐标。
8、已知点 ， 及 ， ，求点 ， 和 的坐标。
三、能力题
9、已知点 ， ， ，若点 满足 ，
当 为何值时：（1）点 在直线 上？ （2）点 在第四象限内？
基本不等式
第04讲： 基本不等式
高考《考试大纲》的要求：
① 了解基本不等式的证明过程
② 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题
（一）基础知识回顾：
1.定理1. 如果a,b ,那么 ，（当且仅当_______时，等号成立）.
2.定理2（基本不等式）：如果a,b>0,那么______________（当且仅当_______时，等号成立）.
称_______为a,b的算术平均数，_____为a,b的几何平均数。基本不等式又称为________.
3. 基本不等式的几何意义是：_________不小于_________. 如图
4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）
即: （1）和、积中的每一个数都必须是正数；
（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；
简记为：和定积最_____，积定和最______.
（3）只有等号能够成立时，才有最值。
（二）例题分析：
例1．（陕西）设x、y为正数，则有(x+y)(1x＋4y)的最小值为（ ）
A．15 B．12C．9 D．6
例2．函数 的值域是_________________________.
例3（江西、陕西、天津,全国、理） 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为 ，画面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？
（三）基础训练：
1.设 且 则必有( )
(A) (B)
(C) (D)
2.（湖南理）设a＞0, b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）
（A） ≥4 （B） ≥
（C） ≥ （D） ≥
3.（2001春招北京、内蒙、安徽、理）若 为实数，且 ，则 的最小值是（ ）
（A）18 （B）6（C） （D）
4. 已知a,b ,下列不等式中不正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5．（福建）下列结论正确的是（ ）
A．当 B．
C． 的最小值为2D．当 无最大值
6. 已知两个正实数 满足关系式 , 则 的最大值是_____________.
7.若 且 则 中最小的一个是__________.
8.（2005北京春招、理）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 （千辆/小时）与汽车的平均速度 （千米/小时）之间的函数关系为： 。
（1）在该时段内，当汽车的平均速度 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到 千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？
（四）拓展训练：
1.(2000全国、江西、天津、广东）若 ,P= ,Q= ,R= ,则（ ）
（A）R 2．若正数a、b满足ab=a+b+3，分别求ab与a+b的取值范围。 参考答案 第04讲： 基本不等式 （二）例题分析： 例1． C； 例2． ； 例3解：设画面高为x cm，宽为λx cm，则λ x2 = 4840． 设纸张面积为S，有S = (x＋16) (λ x＋10)= λ x2＋(16λ＋10) x＋160， 将 代入上式，得 ． 当 时，即 时，S取得最小值． 此时，高： ，宽： ． 答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小． （三）基础训练： 1. B； 2. B； 3. B； 4. B 5．B； 6. 2 ; 7. 8. 解：（Ⅰ）依题意， （Ⅱ）由条得 整理得v2－89v+1600<0, 即（v－25）（v－64）<0, 解得25 答：当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时． （四）拓展训练：1. B; 2．解：因为a、b是正数，所以 ，即 ， 法一：令 ，则 ，由ab=a+b+3≥2 +3，得 ，（t>0） 解得t≥3, 即 ，所以ab≥9,a+b=ab-3≥6. 法二：令 ，则由ab=a+b+3可知a+b+3 = ，得 ，（x>0） 整理得 ，又x>0，解得x≥6,即a+b≥6，所以ab=a+b+3≥9. 答： ab与a+b的取值范围分别是 与 。 一、教材分析 《余弦定理》选自人教A版高中数学必修五第一章第一节第一课时。本节课的主要教学内容是余弦定理的内容及证明，以及运用余弦定理解决“两边一夹角”“三边”的解三角形问题。 余弦定理的学习有充分的基础，初中的勾股定理、必修一中的向量知识、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识基础，同时又对本节课的学习提供了一定的方法指导。其次，余弦定理在高中解三角形问题中有着重要的地位，是解决各种解三角形问题的常用方法，余弦定理也经常运用于空间几何中，所以余弦定理是高中数学学习的一个十分重要的内容。 二、教学目标 知识与技能： 1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。 2、掌握余弦定理的推导、证明过程。 3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。 过程与方法： 1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。 2、通过直角三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。 3、通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。 情感态度与价值观： 1、在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神，体验 解决问题的成功喜悦。 2、感受数学一般规律的美感，培养数学学习的兴趣。 三、教学重难点 重点：余弦定理及其推论和余弦定理的运用。 难点：余弦定理的发现和推导过程以及多解情况的判断。 四、教学用具 普通教学工具、多媒体工具 （以上均为命题教学的准备） 一、单元教学内容 运算定律P——P 二、单元教学目标 1、探索和理解加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能运用运算定律进行一些简便计算。 2、理解和掌握减法和除法的运算性质，并能应用这些运算性质进行简便计算。 3、会应用运算律进行一些简便运算，掌握运算技巧，提高计算能力。 4、在经历运算定律和运算性质的发现过程中，体验归纳、总结和抽象的数学思维方法。 5、在经历运算定律的字母公式形成过程中，能进行有条理地思考，并表达自己的思考结果。 6、经历简便计算过程，感受数的运算与日常生活的密切联系，并在活动中学会与他人合作。 7、在经历解决问题的过程中，体验运算律的价值，增强应用数学的意识。 三、单元教学重、难点 1、理解加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能运用运算定律进行一些简便计算。 2、理解和掌握减法和除法的运算性质，并能应用这些运算性质进行简便计算。 四、单元教学安排 运算定律10课时 第1课时 加法交换律和结合律 一、教学内容：加法交换律和结合律P17——P18 二、教学目标： 1、在解决实际问题的过程中，发现并掌握加法交换律和结合律，学会用字母表示加法交换律和结合律。 2、在探索运算律的过程中，发展分析、比较、抽象、概括能力，培养学生的符号感。 3、培养学生的观察能力和概括能力。 三、教学重难点 重点：发现并掌握加法交换律、结合律。 难点：由具体上升到抽象，概括出加法交换律和加法结合律。 四、教学准备 多媒体课件 五、教学过程 （一）导入新授 1、出示教材第17页情境图。 师：在我们班里，有多少同学会骑自行车？你最远骑到什么地方？ 师生交流后，课件出示李叔叔骑车旅行的场景：骑车是一项有益健康的运动，你看，这位李叔叔正在骑车旅行呢！ 2、获取信息。 师：从中你知道了哪些数学信息？（学生回答） 3、师小结信息，引出课题：加法交换律和结合律。 （二）探索发现 第一环节 探索加法交换律 1、课件继续出示：“李叔叔今天上午骑了40km，下午骑了56km，一共骑了多少千米？” 学生口头列式，教师板书出示： 40+56=96（千米） 56+40=96（千米） 你能用等号把这两道算式写成一个等式吗？ 40+56=56+40 你还能再写出几个这样的等式吗？ 学生独自写出几个这样的等式，并在小组内交流各自写出的等式，互相检验 写出的等式是否符合要求。 2、观察写出的这些算式，你有什么发现？并用自己喜欢的方式表示出来。 全班交流。从这些算式可以发现：两个数相加，交换加数的位置，和不变。可以用符号来表示：？+☆=☆+？； 可以用文字来表示：甲数十乙数=乙数十甲数。 3、如果用字母a、b分别表示两个加数，又可以怎样来表示发现的这个规律呢？ a+b=b+a 教师指出：这就是加法交换律。 4、初步应用：在（ ）里填上合适的数。 37+36=36+（ ）305+49=（ ）+305b+100=（ ）+b 47+（ ）=126+（ ） m+（ ）=n+（ ） 13+24=（ ）+（ ）第二环节 探索加法结合律 1、课件出示教材第18页例2情境图。 师：从例2的情境图中，你获得了哪些信息？ 师生交流后提出问题：要求“李叔叔三天一共骑了多少千米”可以怎样列式？ 学生独立列式，指名汇报。 汇报预设： 方法一：先算出“第一天和第二天共骑了多少千米”： （88+104）+96=192+96 =288（千米） 方法二：先算出“第二天和第三天共骑了多少千米”： 88+（104+96）=88+200=288（千米） 把这两道算式写成一道等式： （88+104）+96=88+（104+96） 2、算一算，下面的○里能填上等号吗？ （45+25）+13○45+（25+13）（36+18）+22○36+（18+22） 小组讨论。先比较每组的两个算式，再比较这三组算式，在小组里说说你有 什么发现。 集体交流，使学生明确：三个算式加数没变，加数的位置也没变，运算的顺序变了，它们的和不变。也就是：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 3、如果用字母a、b、c分别表示三个加数，可以怎样用字母来表示这个规律呢？ （a+b）+c=a+（b+c） 教师指出：这就是加法结合律。 4、初步应用。 在横线上填上合适的数。 （45+36）+64=45+（36+） （560+）+ =560+（140+70） （360+）+108=360+（92+） （57+c）+d=57+（+） （三）巩固发散 1、完成教材第18页“做一做”。 学生独立填写，组织汇报时，让学生说说是根据什么运算律填写的。 2、下面各等式哪些符合加法交换律，哪些符合加法结合律？ （1）470+320=320+470 （2）a+55+45=55+45+a （3）（27+65）+35=27+（65+35） （4）70+80+40=70+40+80 （5）60+（a+50）=（60+a）+50 （6）b+900=900+b （四）评价反馈 通过今天这节课的学习，你有哪些收获？ 师生交流后总结：学习了加法交换律和结合律，并知道了如何用符号和字母来表示发现的规律。 （五）板书设计 加法交换律和结合律 加法交换律加法结合律 例1：李叔叔今天一共骑了多少千米？ 例2：李叔叔三天一共骑了多少千米？ 40+56=96（千米） （88+104） +96 88+（104+96） 56+40=96（千米）=192+96 =88+200=288（千米） =288（千米） 40+56=56+40 （88+104）+96=88+（104+96） a+b=b+a （a+b）+c=a+（b+c） 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 六、教学后记 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 一、教学内容分析 人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。 二、学生学习情况分析 本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。 三、设计思想 新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。 四、教学目标 继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。 五、教学重点与难点 教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。 六、教学过程： 七、教学反思 本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型（模型、类型），质（实质、本质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工具，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，认识数学与实际的联系，学会应用数学知识和方法解决一些实际问题。学生应用数学的意识不强，创造力不足、看待问题不深入，很大原因在于学生的知识系统不够完善。因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构。 如何证明余弦定理 三角形的正弦定理证明： 步骤1. 在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a・sinB CH=b・sinA ∴a・sinB=b・sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 2 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。 过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a 由勾股定理得： c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*CD 因为cosC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 题目中^2表示平方。 2 谈正、余弦定理的.多种证法 聊城二中 魏清泉 正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合. 定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则 (1)(正弦定理) = = ; (2)(余弦定理) c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A. 一、正弦定理的证明 证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有 AD=bsin∠BCA， BE=csin∠CAB， CF=asin∠ABC。 所以S△ABC=abcsin∠BCA =bcsin∠CAB =casin∠ABC. 证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有 AD=bsin∠BCA=csin∠ABC， BE=asin∠BCA=csin∠CAB。 证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆 的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。 证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。 因为AB=AC+CB， 所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB. 因为jAC=0， jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC， jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA . 二、余弦定理的证明 法一：在△ABC中，已知 ，求c。 过A作 ， 在Rt 中， ， 法二： ，即： 法三： 先证明如下等式： ⑴ 证明： 故⑴式成立，再由正弦定理变形，得 结合⑴、有 即 . 同理可证 . 三、正余弦定理的统一证明 法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B， ∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B). 根据向量的运算： =(-acos B,asin B)， = - =(bcos A-c,bsin A), (1)由 = ：得 asin B=bsin A,即 = . 同理可得： = . ∴ = = . (2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A， 又| |=a, ∴a2=b2+c2-2bccos A. 同理： c2=a2+b2-2abcos C; b2=a2+c2-2accos B. 法二：如图5， ,设 轴、轴方向上的单位向量分别为 、，将上式的两边分别与 、作数量积，可知 ， 即 将(1)式改写为 化简得b2-a2-c2=-2accos B. 即b2=a2+c2-2accos B.(4) 这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理. 参考文献： 【1】孟燕平?抓住特征，灵活转换?数学通报第11期. 【2】《中学生数学》(上)3月上 【3】《数学(必修5)》人民教育出版社 各位老师大家好！ 今天我说课的内容是余弦定理，本节内容共分3课时，今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。下面我分别从教材分析。教学目标的确定。教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。 一、教材分析 本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理。平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。 在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。 二、教学目标的确定 基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者。引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有： 1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题； 2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力； 3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、 三、教学方法的选择 基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。 在教学中利用计算机多媒体来辅助教学，充分发挥其快捷、生动、形象的特点。 四、教学过程的设计 为达到本节课的教学目标、突出重点、突破难点，在教材分析、确定教学目标和合理选择教法与学法的基础上，我把教学过程设计为以下四个阶段：创设情境、引入课题；探索研究、构建新知；例题讲解、巩固练习；课堂小结，布置作业。具体过程如下： 1、创设情境，引入课题 利用多媒体引出如下问题： A地和B地之间隔着一个水塘现选择一地点C，可以测得的大小及，求A、B两地之间的距离c。 【设计意图】由于学生刚学过正弦定理，一定会采用刚学的知识解题，但由于无法找到一组已知的边及其所对角，从而产生疑惑，激发学生探索欲望。 2、探索研究、构建新知 （1）由于初中接触的是解直角三角形的问题，所以我将先带领学生从特殊情况为直角三角形（ ）时考虑。此时使用勾股定理，得。 （2）从直角三角形这一特殊情况出发，引导学生在一般三角形中构造直角即作边的高，从而在构造的直角三角形中利用勾股定理列出边之间的等式关系、 （3）考虑到我们所作的图为锐角三角形，讨论上述结论能否推广到在为钝角三角形（ ）中。 通过解决问题可以得到在任意三角形中都有，之后让同学们类比出……这样我就完成了对余弦定理的引入，之后总结给出余弦定理的内容及公式表示。 【设计意图】通过创设情景、引导学生探究出余弦定理这一数学体验，既可以培养学生分析问题的能力，也可以加深学生对余弦定理的认识、 在学生已学习了向量的基础上，考虑到新课改中要求使用新工具、新方法，我会引导同学类比向量法证明正弦定理的过程尝试使用向量的方法证明余弦定理、之后引导学生对余弦定理公式进行变形，用三边值来表示角的余弦值，给出余弦定理的第二种表示形式，这样就完成了新知的构建。 根据余弦定理的两种形式，我们可以利用余弦定理解决以下两类解斜三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知三角形两边及其夹角，求第三边和其他两个角。 3、例题讲解、巩固练习 本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考交流、分析讲解以及反思小结，使学生初步掌握使用余弦定理解决问题的方法。其中例题先以学生自己思考解题为主，教师点评后再规范解题步骤及板书，课堂练习请同学们自主完成，并请同学上黑板板书，从而巩固余弦定理的运用。 例题讲解： 例1在中， （1）已知，求； （2）已知，求。 【设计意图】例题1分别是通过已知三角形两边及其夹角求第三边，已知三角形三边求其夹角，这样余弦定理的两个形式分别得到了运用，进而巩固了学生对余弦定理的运用。 例2对于例题1（2），求的大小。 【设计意图】已经求出了的度数，学生可能会有两种解法：运用正弦定理或运用余弦定理，比较正弦定理和余弦定理，发现使用余弦定理求解角的问题可以避免解的取舍问题。 例3使用余弦定理证明：在中，当为锐角时；当为钝角时， 【设计意图】例3通过对和的比较，体现了“余弦定理是勾股定理的推广”这一思想，进一步加深了对余弦定理的认识和理解。 课堂练习： 练习1在中， （1）已知，求； （2）已知，求。 【设计意图】检验学生是否掌握余弦定理的两个形式，巩固学生对余弦定理的运用。 练习2若三条线段长分别为5，6，7，则用这三条线段。 A、能组成直角三角形 B、能组成锐角三角形 C、能组成钝角三角形 D、不能组成三角形 【设计意图】与例题3相呼应。 练习3在中，已知，试求的大小。 【设计意图】要求灵活使用公式，对公式进行变形。 4、课堂小结，布置作业 先请同学对本节课所学内容进行小结，教师再对以下三个方面进行总结： （1）余弦定理的内容和公式； （2）余弦定理实质上是勾股定理的推广； （3）余弦定理的可以解决的两类解斜三角形的问题。 通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。 布置作业 必做题：习题1、2、1、2、3、5、6； 选做题：习题1、2、12、13。 【设计意图】 作业分为必做题和选做题、针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高。 各位老师，以上所说只是我预设的一种方案，但课堂是千变万化的，会随着学生和教师的临时发挥而随机生成。预设效果如何，最终还有待于课堂教学实践的检验。 本说课一定存在诸多不足，恳请老师提出宝贵意见，谢谢。 大家好，今天我向大家说课的题目是《余弦定理》。下面我将从以下几个方面介绍我这堂课的教学设计。 一、教材分析 本节知识是职业高中数学教材第五章第九节《解三角形》的内容，与初中学习的勾股定理有密切的联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，在实际测量问题及航海问题中都有着广泛的用，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。并且在探索建立余弦定理时还用到向量法，坐标法等数学方法，同时还用到了数形结合，方程等数学思想。因此，余弦定理的知识非常重要。特别是在三角形中的求角问题中作用更大。做为职业高中的学生必须学好学透这节知识 根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标： ①理解掌握余弦定理，能正确使用定理 ②培养学生教形结合分析问题的能力 ③培养学生严谨的推理思维和良好的审美能力。 教学重点：定理的探究及应用 教学难点：定理的探究及理解 二、学情分析 对于职业高中的高一学生，虽然知识经验并不丰富，但他们的智利发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 三、教法分析 根据教材的内容和编排的特点，为更有效地突出重点，突破难点，以学生的发展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以教师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想，采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“余弦定理的发现”为基本探究内容，让学生的思维由问题开始，到发想、探究，定理的推导，并逐步得到深化。突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励，使他们知难而进。另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。突破难点的方法：抓住学生的能力线，联系方法与技能使学生较易证明余弦定理，另外通过例题和练习来突破难点，注重知识的`形成过程，突出教学理念的创新。 四、学法指导： 指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。 五、教学过程 第一：创设情景，大概用2分钟 第二：实践探究，形成定理，大约用25分钟 第三：应用定理，拓展反思，大约用13分钟 （一）创设情境，布疑激趣 “兴趣是最好的老师”，如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半，从用正弦定理可解的两类三角形出发，揭示勾股定理特点，说明正弦定理解三角形不完备，还有用正弦定理不能直接求解的三角形，应怎样解决呢？需要我们继续探究，引出课题。 （二）逻辑推理，证明猜想 提出问题，探究问题，形成定理，回顾分析，形成结论，再认识结论，总结用途。变形延伸，培养发散，对比特殊，认知推广。落实定理，构建定理应用体系。 （三）归纳总结，简单应用 1．让学生用文字叙述余弦定理，引导学生发现定理具有对称和谐美，提升对数学美的享受。 2．回顾余弦定理的内容，讨论可以解决哪几类有关三角形的问题。 （四）讲解例题，巩固定理 1、审题确定条件。 2、明确求解任务。 3、确定使用公式。 4、科学求解过程。 （五）课堂练习，提高巩固 1.在△ABC中,已知下列条件,解三角形. (1)A=45°,C=30°,c=10cm (2)A=60°,B=45°,c=20cm 2.在△ABC中,已知下列条件,解三角形. (1)a=20cm,b=11cm,B=30° (2)c=54cm,b=39cm,C=115° 学生板演，老师巡视，及时发现问题，并解答。 （六）小结反思，提高认识 通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你对此有何体会？ 1．用向量证明了余弦定理，体现了数形结合的数学思想。 2．两种表达。 3．两类问题。 （七）思维拓展，自主探究 利用余弦定理判断三角形形状，即余弦定理的推论。 一、教材分析：（说教材） 《余弦定理》是全日制中等教育国家规划教材（人教版）数学第一册中第六章平面向量第六部分。余弦定理是欧氏空间度量几何的最重要定理，是解斜三角形的重要定理，是整个测量学的基础。余弦定理是勾股定理的推广，可用解析法、向量法等方法证明。余弦定理主要能解决有关三角形的三类问题：1）、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。2）、已知三边求三个内角；3）、判断三角形的形状。以及相关的证明题。 二、说教学思路 本着数学与专业有机结合的指导思想，让数学服务于专业的需要。以及最大限度的提高学生的学习兴趣，在本节课，我不是将余弦定理简单呈现给学生，而是创造设情境，设计了与机械相关联并具有爱国主题的二个任务，通过任务驱动法教学，极大提高了学生的学习兴趣，激发学生探索新知识的强烈求知欲望，在完成数学教学任务的同时，强化了数学与专业的有机结合，培养了学生将数学知识运用于自身专业中的能力。同时通过任务驱动，培养了学生自主探究式学习的能力；提升解决实际实际问题的能力。因为所设计的两个任务具有爱国主义题材，学生在完成知识学习的同时，也极大的激发了爱国主义精神。 三、说教法 在确定教学方法前，首先要求教师吃透教材，选择恰当的教学方法和教学手段把知识传授给学生。本节课主要采用任务驱动法、引导发现法、观察法、归纳总结法、讲练结合法。并采用电教手段使用多媒体辅助教学。 1. 任务驱动法 教师精心设计与机械专业相关联的二个任务，作为贯穿整节课的主线，通过具体任务的完成，提高学生学习的兴趣，激发求知欲，启发学生对问题进行思考。在研究过程中，激发学生探索新知识的强烈欲望。提升解决实际总是的能力，并极大的激发了爱国主义精神。 2. 引导发现法、观察法 通过对勾股定理的观察和三角形直角的相关变形，学生从中受启发，发现余弦定理，并证明它。 3. 归纳总结法 学生通过前期的探索研究，自主归纳总结出余弦定理及其推论及判断三角形形状的相关规律。 4. 讲练结合法 讲授充分发挥教师主导作用，引导学生自主学习。练习让学生从多角度对所学定理进行认知，及时巩固所学的知识，锻炼了解决实际问题的能力，发挥出学生的主观能动性，成为学习的主体。 四、说学法 学生学法主要有观察、分析、发现、自主探究、小组协作等方法。经教师启发、诱导，学生通过观察与分析去发现并证明余弦定理，培养归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力，训练思维品质。 五、教学目标 （一）知识目标 1、使学生掌握余弦定理及其证明。 2、使学生初步掌握应用余弦定理解斜三角形。 1 （二）能力目标 1、培养学生在本专业范围内熟练运用余弦定理解决实际问题的能力。 2、通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力。 3、通过对余弦定理的推导，培养学生的知识迁移能力和建模意识，及合作学习的意识。 （三）德育目标 1、培养学生的爱国主义精神、及团结、协作精神。 2、通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识的联系理解事物之间普遍联系与辩证统一。 六、教学重点 教学重点是余弦定理及应用余弦定理解斜三角形； 七、教学难点 分析勾股定理的结构特征，从而突破发现余弦定理，应用余弦定理解斜三角形。 八、教学过程 教学中注重突出重点、突破难点，从五个层次进行教学。 创设情境、任务驱动； 引导探究、发现定理； 完成任务、应用迁移； 拓展升华、交流反思； 小结归纳、布置作业。 （一）、导入 1、教师创设情境设置二个任务，做为贯穿本课的主线和数学与专业有机结合的钮带，通过完成这二个任务，达到掌握余弦定理并学会应用的目标。 2、通过与直角三角形勾股定理引出余弦定理（快乐起点） 经教师启发、诱导，学生通过探索研究，合理猜想来发现余弦定理。 （二）、新课 3.证明猜想，导出余弦定理及余弦定理的变形 经过严密逻辑推理证明得出余弦定理，这一过程中，锻炼了学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力。 4. 解决二个任务 5. 操作演练，巩固提高。 6.小结： 通过学生口答方式小结，让学生强化记忆，分清重点，深化对余弦定理的理解。 7.作业： 分层布置作业，根据不同层次学生将作业分为必做题和选做题。使不同程度的学生都有所提高 九、板书设计 板书是课堂教学重要部分，为再现知识体系，突出重点，将余弦定理知识体系展示在板书中，利于学生加深印象，理清思路。 十、课后反思 在教学设计上，采用任务驱动，教师精心设计与机械专业相关联的二个任务，作为贯穿整节课的主线，通过具体任务的完成，即提高学生学习的兴趣，又激发求知欲；知识点学习则循序渐进，符合学生的认知特点。经教师启发、诱导，学生通过观察、分析、发现、自主探究、小组协作等方法在获取新知的同时，培养了归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力。 余弦定理证明 在任意△ABC中, 作AD⊥BC. ∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a --> BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 勾股定理可知： AC=AD+DC b=(sinB*c)+(a-cosB*c) b=sinB*c+a+cosB*c-2ac*cosB b=(sinB+cosB)*c-2ac*cosB+a b=c+a-2ac*cosB 所以，cosB=(c+a-b)/2ac 2 如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的.边分别是a、b、c . 以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA). 现将CB平移到起点为原点A，则AD = CB . 而 |AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ， 根据三角函数的定义知D点坐标是 (acos(π-C)，asin(π-C)) 即 D点坐标是(-acosC，asinC), ∴ AD = (-acosC，asinC) 而 AD = CB ∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA) ∴ asinC = csinA …………① -acosC = ccosA-b ……② 由①得 asinA = csinC ，同理可证 asinA = bsinB ， ∴ asinA = bsinB = csinC . 由②得 acosC = b-ccosA ，平方得： a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ， 即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得 a2sin2C = c2sin2A ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可证 b2 = a2 + c2-2accosB ， c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明: mb=(1/2)[(√2(a^2+c^2)-b^2)] mc=(1/2)[(√2(a^2+b^2)-c^2)]ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB) =(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB) 由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式： ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)] =(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2) 同理可得： mb= mc= 4 ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB) =(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB) 由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式： ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)] =(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2) 证毕。 因为过C作CD垂直于AB，AD=bcosA;所以(c-bcosA)^2+(bsinA)^2=a^2。 又因为b^2-(bcosA)^2=(bsinA)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2， 所以c^2-2cbcosA+(bcosA)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2， 所以c^2-2cbcosA+b^2=a^2， 所以c^2+b^2-a^2=2cbcosA， 所以cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc 同理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab 2 在任意△ABC中, 作AD⊥BC. ∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a --> BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 勾股定理可知： AC=AD+DC b=(sinB*c)+(a-cosB*c) b=sinB*c+a+cosB*c-2ac*cosB b=(sinB+cosB)*c-2ac*cosB+a b=c+a-2ac*cosB 所以，cosB=(c+a-b)/2ac 2 如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的`定义得B点坐标是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA). 现将CB平移到起点为原点A，则AD = CB . 而 |AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ， 根据三角函数的定义知D点坐标是 (acos(π-C)，asin(π-C)) 即 D点坐标是(-acosC，asinC), ∴ AD = (-acosC，asinC) 而 AD = CB ∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA) ∴ asinC = csinA …………① -acosC = ccosA-b ……② 由①得 asinA = csinC ，同理可证 asinA = bsinB ， ∴ asinA = bsinB = csinC . 由②得 acosC = b-ccosA ，平方得： a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ， 即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得 a2sin2C = c2sin2A ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可证 b2 = a2 + c2-2accosB ， c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明: mb=(1/2)[(√2(a^2+c^2)-b^2)] mc=(1/2)[(√2(a^2+b^2)-c^2)]ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB) =(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB) 由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式： ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)] =(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2) 同理可得： mb= mc= 4 ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB) =(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB) 由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式： ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)] =(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2) 证毕。 垂心余弦定理证明 如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA). 现将CB平移到起点为原点A，则AD = CB . 而 |AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ， 根据三角函数的定义知D点坐标是 (acos(π-C)，asin(π-C)) 即 D点坐标是(-acosC，asinC), ∴ AD = (-acosC，asinC) 而 AD = CB ∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA) ∴ asinC = csinA …………① -acosC = ccosA-b ……② 由①得 asinA = csinC ，同理可证 asinA = bsinB ， ∴ asinA = bsinB = csinC . 由②得 acosC = b-ccosA ，平方得： a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ， 即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得 a2sin2C = c2sin2A ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可证 b2 = a2 + c2-2accosB ， c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和余弦定理证明完毕。 2 正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合. 定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则 (1)(正弦定理) = = ; (2)(余弦定理) c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A. 一、正弦定理的证明 证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有 AD=bsin∠BCA， BE=csin∠CAB， CF=asin∠ABC。 所以S△ABC=abcsin∠BCA =bcsin∠CAB =casin∠ABC. 证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有 AD=bsin∠BCA=csin∠ABC， BE=asin∠BCA=csin∠CAB。 证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆 的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。 证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。 因为AB=AC+CB， 所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB. 因为jAC=0， jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC， jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA . 二、余弦定理的证明 法一：在△ABC中，已知 ，求c。 过A作 ， 在Rt 中， ， 法二： ，即： 法三： 先证明如下等式： ⑴ 证明： 故⑴式成立，再由正弦定理变形，得 结合⑴、有 即 . 同理可证 . 三、正余弦定理的统一证明 法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B， ∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B). 根据向量的运算： =(-acos B,asin B)， = - =(bcos A-c,bsin A), (1)由 = ：得 asin B=bsin A,即 = . 同理可得： = . ∴ = = . (2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A， 又| |=a, ∴a2=b2+c2-2bccos A. 同理： c2=a2+b2-2abcos C; b2=a2+c2-2accos B. 法二：如图5， ,设 轴、轴方向上的单位向量分别为 、，将上式的两边分别与 、作数量积，可知 ， 即 将(1)式改写为 化简得b2-a2-c2=-2accos B. 即b2=a2+c2-2accos B.(4) 这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理. 余弦定理的证明 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。 过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a 由勾股定理得： c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*CD 因为cosC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 题目中^2表示平方。 2 谈正、余弦定理的多种证法 聊城二中 魏清泉 正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的.数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合. 定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则 (1)(正弦定理) = = ; (2)(余弦定理) c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A. 一、正弦定理的证明 证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有 AD=bsin∠BCA， BE=csin∠CAB， CF=asin∠ABC。 所以S△ABC=abcsin∠BCA =bcsin∠CAB =casin∠ABC. 证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有 AD=bsin∠BCA=csin∠ABC， BE=asin∠BCA=csin∠CAB。 证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆 的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。 证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。 因为AB=AC+CB， 所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB. 因为jAC=0， jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC， jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA . 二、余弦定理的证明 法一：在△ABC中，已知 ，求c。 过A作 ， 在Rt 中， ， 法二： ，即： 法三： 先证明如下等式： ⑴ 证明： 故⑴式成立，再由正弦定理变形，得 结合⑴、有 即 . 同理可证 . 三、正余弦定理的统一证明 法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B， ∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B). 根据向量的运算： =(-acos B,asin B)， = - =(bcos A-c,bsin A), (1)由 = ：得 asin B=bsin A,即 = . 同理可得： = . ∴ = = . (2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A， 又| |=a, ∴a2=b2+c2-2bccos A. 同理： c2=a2+b2-2abcos C; b2=a2+c2-2accos B. 法二：如图5， ,设 轴、轴方向上的单位向量分别为 、，将上式的两边分别与 、作数量积，可知 ， 即 将(1)式改写为 化简得b2-a2-c2=-2accos B. 即b2=a2+c2-2accos B.(4) 这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理. 参考文献： 【1】孟燕平?抓住特征，灵活转换?数学通报2003年第11期. 【2】《中学生数学》(上)2000年3月上 【3】《数学(必修5)》人民教育出版社篇4：余弦定理的教案
篇5：余弦定理的教案
篇6：余弦定理的教案
篇7：如何证明余弦定理
篇8：余弦定理说课稿
篇9：余弦定理说课稿
篇10：余弦定理说课稿
篇11：余弦定理证明
篇12：怎么证明余弦定理
篇13：垂心余弦定理证明
篇14：余弦定理的证明
