数列、数列的通项公式教案
【简介】感谢网友“iamsoblue”参与投稿，以下是小编为大家整理的数列、数列的通项公式教案（共13篇），仅供参考，欢迎大家阅读。
篇1：数列、数列的通项公式教案
数列、数列的通项公式教案
目的：
要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。
重点：
1数列的概念。
按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项，数列的第n项an叫做数列的通项（或一般项）。由数列定义知：数列中的数是有序的，数列中的数可以重复出现，这与数集中的数的无序性、互异性是不同的。
2．数列的通项公式，如果数列{an}的通项an可以用一个关于n的公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。
从映射、函数的观点看，数列可以看成是定义域为正整数集N*（或宽的有限子集）的函数。当自变量顺次从小到大依次取值时对自学成才的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的解析式。由于数列的.项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点。
难点：
根据数列前几项的特点，以现规律后写出数列的通项公式。给出数列的前若干项求数列的通项公式，一般比较困难，且有的数列不一定有通项公式，如果有通项公式也不一定唯一。给出数列的前若干项要确定其一个通项公式，解决这个问题的关键是找出已知的每一项与其序号之间的对应关系，然后抽象成一般形式。
过程：
一、从实例引入（P110）
1． 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,102． 正整数的倒数 3． 4． -1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…5． 无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…
二、提出课题：
数列
1．数列的定义：
按一定次序排列的一列数（数列的有序性）
2． 名称：
项，序号，一般公式 ，表示法
3． 通项公式：
与 之间的函数关系式如 数列1： 数列2： 数列4：
4． 分类：
递增数列、递减数列；常数列；摆动数列； 有穷数列、无穷数列。
5． 实质：
从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。
6． 用图象表示：
— 是一群孤立的点 例一 （P111 例一 略）
三、关于数列的通项公式
1． 不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3）
2． 数列的通项公式不唯一 如： 数列4可写成 和
3． 已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要例二 （P111 例二）略
四、补充例题：
写出下面数列的一个通项公式，使它的前 项分别是下列各数：1．1，0，1，0． 2． ， ， ， ， 3．7，77，777，7777 4．-1，7，-13，19，-25，31 5． ， ， ，
五、小结：
1．数列的有关概念
2．观察法求数列的通项公式
六、作业：
练习P112习题 3．1（P114）1、2
七、练习：
1．观察下面数列的特点，用适当的数填空，关写出每个数列的一个通项公式；（1） ， ， ，（ ）， ， …（2） ，（ ）， ， ， …
2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1、、、； （2） 、、、； （3） 、、、； （4） 、、、
3．求数列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一个通项公式
4．已知数列an的前4项为0， ，0， ，则下列各式 ①an= ②an= ③an= 其中可作为数列{an}通项公式的是A ① B ①② C ②③ D ①②③
5．已知数列1， ， ， ，3， …， ，…，则 是这个数列的（ ）A． 第10项 B.第11项 C.第12项 D.第21项
6．在数列{an}中a1=2,a17=66,通项公式或序号n的一次函数，求通项公式。
7．设函数 （ ），数列{an}满足
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）判断数列{an}的单调性。
8．在数列{an}中，an=
（1）求证：数列{an}先递增后递减；
（2）求数列{an}的最大项。
答案：
1.（1） ，an= （2） ，an=
2．（1）an= （2）an= （3）an= （4）an=
3．an= 或an= 这里借助了数列1，0，1，0，1，0…的通项公式an= 。
4．D
5.B
6. an=4n-2
7．（1）an= (2)<1又an<0, ∴ 是递增数列
篇2：数列通项公式方法总结
不过一般分小题、有梯度设问，往往是第1小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多，不同的题型有不同的解决方法。下面结合教学实践，谈谈求数列通项公式的解题思路。
一、已知数列的前几项
已知数列的前几项，求通项公式。通过观察找规律，分析出数列的项与项数之间的'关系，从而求出通项公式。这种方法称为观察法，也即是归纳推理。
篇3：数列通项公式方法总结
分析：根据an与Sn的关系，将an+1=2Sn+1转化为an与an+1的关系。
解：由an+1=2Sn+1
得an=2Sn-1+1（n≥2）
两式相减，得an+1-an=2an
∴an+1=3an （n≥2）
∵a2=2Sn+1=3
∴a2=3a1
∴{an}是以1为首项，3为公比的等比数列
∴an=3n-1
（3）an+1=an+f（n），用叠加法
思路：令n=1，2，3，……，n-1
得a2=a1+f（1）
a3=a2+f（2）
a4=a3+f（3）
……
+）an=an——1+f（n-1）
an=a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）
例5、若数列{an}满足a1=2，an+1=an+2n
则{an}的通项公式=（ ）
解：∵an+1=an+2n
∴a2 =a1+2×1
a3=a2+2×2
a4=a3+2×3
……
+）an=an——1+2（n-1）
an=a1+2（1+2+3+…+n-1）
=2+2×（1+n-1）（n-1）
=n2-n+2
（4）an+1=f（n）an，用累积法
思路：令n=1，2，3，……，n-1
得a2 =f（1）a1 a3=f（2）a2 a4=f（3）a3
……
×）an=f（n-1）an-1
an=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）
例6、若数列{an}满足a1=1，an+1=2n+an，则an=（ ）
解：∵an+1=2nan ∴a2 =21a1
a3=22a2 a4=23a3
……
×） an=2n——1·an——1
an=2·22·23·……·2n-1a1=2n（n-1）/2
（5）an=pan——1+q， an=pan——1+f（n）
an+1=an+p·qn（pq≠0），
an=p（an——1）q， an+1=ran/pan+q=（pr≠0，q≠r）
（p、q、r为常数）
这些类型均可用构造法或迭代法。
①an=pan——1+q （p、q为常数）
构造法：将原数列的各项均加上一个常数，构成一个等比数列，然后，求出该等比数列的通项公式，再还原为所求数列的通项公式。
将关系式两边都加上x
得an+x=Pan——1+q+x
=P（an——1 + q+x/p）
令x=q+x/p，得x=q/p-1
∴an+q/p-1=P（an——1+q/p-1）
∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1为首项，P为公比的等比数列。
∴an+q/p-1=（a1+q/p-1）Pn-1
∴an=（a1+q/p-1）Pn-1-q/p-1
迭代法：an=p（an——1+q）=p（pan-2+q）+q
=p2（（pan-3+q）+pq+q……
例7、数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-n（n∈N+）求an
解析：由Sn=2an-n 得Sn-1=2an-1-（n-1） （n≥2,n∈N+）
两式相减得an=2an-1+1
两边加1得an+1=2（an-1+1） （n≥2，n∈N+）
构造成以2为公比的等比数列{an+1}
②an=Pan-1+f（n）
例8、数列{an}中，a1为常数，且an=-2an-1+3n-1（≥2，n∈N）
证明：an=（-2）n-1a1+3n+（-1）n·3·2n-1/5
分析：这道题是证明题，最简单的方法当然是数学归纳法，现用构造法和迭代法来证明。
方法一：构造公比为-2的等比数列{an+λ·3n}
用比较系数法可求得λ=-1/5
方法二：构造等差型数列{an/（-2）n}。由已知两边同以（-2）n，得an/（-2）n=an-1/（-2）n=1/3·（-3/2）n，用叠加法处理。
方法三：迭代法。
an=-2an-1+3n-1=-2（-2an-2+3n-2）+3n-1
=（-2）2an-2+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）2（-2an-3+3n-3）+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）3an-3+（-2）·3n-3+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）n-1a1+（-2）n-1·3+（-2）n-3·+32+……+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）n-1a1+3n+（-1）n-2·3·2n-1/5
③an+1=λan+p·qn（pq≠0）
（ⅰ）当λ=qn+1时，等式两边同除以，就可构造出一个等差数列{an/qn}。
例9、在数列{an}中，a1=4，an+1+2n+1，求an。
分析：在an+1=2an+2n+1两边同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1
∴{an/2n}是以a1/2=2为首项，1为公差的等差数列。
（ⅱ）当λ≠q时，等式两边同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1=λ/qbn+p，再构造成等比数列求bn，从而求出an。
例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an
分析：从an=3an-1+2n-1两边都除以2n，
得an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2
令an/2n=bn
则bn=3/2bn-1+1/2
④an=p（an——1）q（p、q为常数）
例11、已知an=1/a an——12，首项a1，求an。
方法一：将已知两边取对数
得lgan=2lgan——1-lga
令bn=lgan
得bn=2bn-1-lga，再构造成等比数列求bn，从而求出an。
方法二：迭代法
an=1/a a2n——1=1/a （1/a a2n——2）2=1/a3 a4n——2
=1/a3 （1/a a2n——3）4=1/a7·an——38=a·（an——3/a）23
=……=a·（a1/a）2n——1
⑤an+1=ran/pan+q（p、q、r为常数，pr≠0，q≠r）
将等式两边取倒数，得1/an+1=q/r·1/an+p/r，再构造成等比数列求an。
例12、在{an}中，a1=1，an+1=an/an+2，求an
解：∵an+1=an/an+2
∴1/an+1=2·1/an+1
两边加上1，得1/an+1+1=2（1/an+1）
∴{1/an+1}是以1/an+1=2为首项，2为公比的等比数列
∴ 1/an+1=2×2n-1=2n
∴an=1/2n-1
以上罗列出求数列通项公式的解题思路虽然很清晰，但是一般考生对第三项中的5种类型题用构选法和迭代法都比较困难的。遇到此情况，可转化为第一种类型解决，即从an与Sn的关系式求出数列的前几项，用观察法求an。
篇4：数列通项公式方法总结
（1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5……
（2）9，99，999，……
分析：（1）0=12——1/2，每一项的分子是项数的平方减去1，分母是项数加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其实，该数列各项可化简为0，1，2，3，……，易知an＝n——1。
（2）各项可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n——1。
此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生的思维能力。
二、已知数列的前n项和Sn
已知数列的前n项和Sn，求通项公式an，主要通过an与Sn的关系转化，即an -{ S1（n＝1） Sn -Sn——1（n≥2）
例2、已知数列{an }的前n项和Sn=2n+3，求an
分析：Sn=a1+a2 +……+an——1+an
Sn——1＝a1+a2 +……+an——1
上两式相减得 Sn -Sn——1=an
解：当n=1时，a1=S1=5
当n≥2时，an =Sn -Sn——1=2n+3-（2n——1+3）=2n——1
∵n=1不适合上式
∴an ={5（n=1） 2n——1（n≥2）
三、已知an与Sn关系
已知数列的第n项an与前n项和Sn间的关系：Sn=f（an），求an。一般的思路是先将Sn与an的关系转化为an与an——1的关系，再根据与的关系特征分为如下几种类型。不同的类型，要用不同的方法解决。
（1）an=an——1+k。数列属等差数列，直接代公式可求通项公式。
例3、已知数列{an}，满足a1=3，an=an——1+8，求an。
分析：由已知条件可知数列是以3为首项，8为公差的等差数列，直接代公式可求得an=8n-5。
（2）an=kan——1（k为常数）。数列属等比数列，直接代公式可求通项公式。
例4、数列{an}的前n项和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+）
篇5：数列通项公式问题探究
数列通项公式问题探究
下面是一篇关于数列通项公式问题探究的论文,对正在写有关数学论文的写作者有一定的参考价值和指导作用!
摘要：求通项是高考中经常出现的形式，但是这方面的题目形式多变，技巧性较强，导致这一内容成为学生学习数列问题的难点。本文对一些常见的递推数列求通项的方法进行归纳总结，以希望对广大中学生朋友们突破这一难点提供一定的帮助。
关键词：数列;通项公式;方法;
一、观察法
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
(1)9，99，999，9999，...
(2)1，1/2，1/4，1/8，...
解：(1)变形为：101- 1，102- 1，103- 1，104- 1，......
∴通项公式为：10n- 1
(2)变形为：1/21-1，1/22-1，1/23-1，1/24-1，......，
∴通项公式为：1/2n- 1
观察法就是要抓住各项的特点，与常见的`数列形式相联系进行变形，探索出各项的变化规律，从而找出各项与项数n的关系，写出通项公式。
二、定义法
例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x- 1)2，且a1=f(d- 1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q- 1)，求数列{an}和{bn}的通项公式;
解：(1)∵a1=f(d- 1)=(d- 2)2，a3=f(d+1)=d2，
∴a3- a1=d2-(d- 2)2=2d，
∴d=2，
∴an=a1+(n- 1)d=2(n- 1);
又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q- 1)=(q- 2)2，
由q∈R，且q≠1，得q=- 2，∴bn=b·qn- 1=4·(- 2)n-1 当已知数列为等差或等比数列时，只需求得首项及公差或公比，可直接利用等差或等比数列的通项公式的定义写出该数列的通项公式。
三、叠加法
例3：已知数列6，9，14，21，30，...求此数列的一个通项。
解：已知a2- a1=3，a3- a2=5，...，an- an- 1=2n- 1，...
各式相加得：an- a1=3+5+...+(2n- 1)=n2- 1
∴an=n2+5
对于可表述成为an- an- 1=f(n)的形式的数列，即可通过叠加的方法消去a2至an- 1项，从而利用的已知求出。
四、叠乘法
例4：设数列 {an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)a2n+1- nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式。
解：∵ (n+1)a2n+1- nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1- nan](an+1+an)=0
又∵ {an}是首项为1的正项数列，
∴an+1+an≠0，
∴ (n+1)an+1- nan=0，
由 此 得 出 ：a1=2a2，2a2=3a3，...，(n- 1)a(n-1)=nan，这n- 1个式子，将其相乘得：a1=nan，又∵a1=1，∴an=1/n，∵n=1也成立，∴an=1/n(n∈N*)。
对于相邻的两项有确定的比例关系的递推式，可以通过叠乘法消去和，从而利用的已知求出此类数列的通项公式。
五、取倒数法
例5：已知数列{an}，a1=-1， n∈N*，求an =?
解：把原式变形得 an+1- an+1·an= an
两边同除以 anan+1得1/an=1/an+1 +1
∴{1/an} 是首项为 -1，d=-1 的等差数列
故an=-1/n
有些关于通项的递推关系式变形后含有 anan+1项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以 anan+1后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出 an。
六、利用公式 an=Sn-Sn-1(n ≥ 2) 求通项
例 6：已知各项均为正数的数列 {an} 的前 n 项和为 Sn满足 S1>1 且 6Sn=(an+1)( an+2) n ∈ N*，求 {an}的通项公式。
解：由 a1=S1= 解得 a1=1 或 a1=2，
由已知a1=S1>1，因此 a1=2
又由 an+1= Sn+1-Sn= 1/6 (an+1 +1)(an+1 +2)-1/6 (an +1)(an +2)得(an+1+an)( an-1-an-3) =0
∵ an>0 ∴ an-1-an=3从而 {an} 是首项为 2，公差为 3 的等差数列，
故 {an} 的通项为 an=2+3(n-1)=3n-1。
有 些 数 列 给 出 {an} 的 前 n 项 和 Sn与 an的 关 系 式Sn=f(an)，利用该式写出 Sn+1=f(an+1)，两式做差，再利用 an+1=Sn+1-Sn导出 an+1与 an的递推式，从而求出 an。
七、构造等比数列法
例 7：已知数列 {an} 满足 a1=1，an+1=2an+1 (n ∈ N*)，求数列 {an} 的通项公式。
解：构造新数列 {an+p}，其中 p 为常数，使之成为公比是 an的系数 2 的等比数列，即 an+1+p =2(an+p) 整理得：an+1=2an+p， an+1= 2an+1 ∴ p=1 即 {an+1} 是首项为 a1+1=2，q=2 的等比数列∴ an+1=2·2n-1
∴an=2n-1。
原数列 {an} 既不等差，也不等比。若把 {an} 中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出 an。该法适用于递推式形如 an+1=ban+c 或 an+1= ban+f(n)an+1= 或an+1=ban+cn其中 b、c 为不相等的常数，f(n) 为一次式。
总之，数列是初等数学向高等数学过度的桥梁，而求数列的通项公式又是学好数列知识的关键，它具有很强的技巧性。但是由于同学们在刚刚接触数列知识时，对求数列的通项公式没有系统的方法，常常感觉无从下手，需要教师和学生共同努力，共同思考，不断的完善求数列通项公式的方法和技巧，开拓思维，创新学习，逐步树立学好数学的信心，提高自身的数学素养，并能融会贯通的运用到其他的知识学习中去。
参考文献：
[1]Cheng Baojuan .Fractional recursive progression item formula of the solution of [J].Education Forum，，(31)
篇6：数列的通项公式的教学反思
数列的通项公式的教学反思
1、爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师。”新课程的教材比以前有了更多的背景足以说明。本节也以国际象棋的故事为引例来激发学生的学习兴趣，然而却在求和公式的证明中以“我们发现，如果用公比乘…”一笔带过，这个“发现”却不是普通学生能做到的，他们只能惊叹于解法的神奇，而求知欲却会因其“技巧性太大”而逐步消退。因此如何在有趣的数学文化背景下进一步拓展学生的视野，使数学知识的发生及形成更为自然，更能贴近学生的认知特征，是每一位教师研讨新教材的重要切入点。
2、“课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象、特殊到一般的原则。”“教材应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。”这些都是《数学课程标准》对教材编写的建议，更是对课堂教学实践的要求。然而，在新课程的教学中，“穿新鞋走老路”仍是常见的现状，“重结果的应用，轻过程的探究”或者是应试教育遗留的祸根，却更与教材的编写，教师对《课程标准》、教材研究的深浅有关，更与课堂教学实践密切相关。我们也曾留足时间让学生思考，却没有人能“发现”用“公比乘以①的两边”，设计“从特殊到一般”即由2，3，4，…到q，再到 ，也是对教学的不断实践与探索的成果。因此，新课程教材留给教师更多发展的`空间，每位教师有责任也应当深刻理会《标准》的理念，认真钻研教材，促进《标准》及教材更加符合学生的实际。
3、先看文[1]由学生自主探究而获得的两种方法：
且不说初中教材已经把等比定理删去，学生能获得以上两种方法并不比发现乘以来得容易，无奈之下，有的教师便用“欣赏”来走马观花地让学生感受一下，这当然更不可取。
回到乘比错位相减法，其实要获得方法1并不难：可以用q乘以 ，那么是否可以在 的右边提出一个q呢？请看：
与 比较，右边括号中比少了一项： ，则有
以上方法仅须教师稍作暗示，学生都可完成。
对于方法2，若去掉分母有 ，与方法1是一致的。
4、在导出公式及证明中值得花这么多时间吗？或者直接给出公式，介绍证明，可留有更多的时间供学生练习，以上过程，教师讲的是不是偏多了？
如果仅仅是为了让学生学会如何应试，诚然以上的过程将不为人所喜欢，因为按此过程，一节课也就差不多把公式给证明完，又哪来例题与练习的时间呢？
但是我们要追问：课堂应教给学生什么呢？课堂教学应从庞杂的知识中引导学生去寻找关系，挖掘书本背后的数学思想，挖掘出基于学生发展的知识体系，教学生学会思考，让教学真正成为发展学生能力的课堂活动。因此，本课例在公式的推导及证明中舍得花大量时间，便是为了培养学生学会探究与学习，其价值远远超过了公式的应用。
篇7：求数列通项公式的解题思路
求数列通项公式的解题思路
广东省高州市第二中学 梁志华
数列既是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础，因此，每年高考对本章内容均作较全面的考查，而且经常是以综合题、主观题的形式出现，难度较大，不过一般分小题、有梯度设问，往往是第1小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多，不同的题型有不同的解决方法。下面结合教学实践，谈谈求数列通项公式的解题思路。
一、已知数列的前几项
已知数列的`前几项，求通项公式。通过观察找规律，分析出数列的项与项数之间的关系，从而求出通项公式。这种方法称为观察法，也即是归纳推理。
篇8：数列教案
1、若 为等差数列,且 则 ;
2、若 为等差数列, 当为奇数时, , ( 中间项),
当n为偶数时, 。
3、若 为等差数列,则连续 项的和组成的数列 仍为等差数列。
4、等差数列 中,若 ,则 , 是其前 项之和,有如下性质,
一般地: ,由此式可以推出:
(1)若 ,则 ;
(2)若 则 ;
(3)若 则 ;
(4)若 ,则 。
5、有两个等差数列 、,若 ,则 。
6、若 为等差数列, 为公差,则 。
7、若 、都是等差数列,公差分别为 、,若这两个数列有公共项,则公共项组成的新数列一般仍为等差数列。
8、等差数列 中, (d为公差)。
若公差非零的等差数列 中的三项 构成等比数列,则其公比为: 。
9、等差数列前项和公式 。
10、在等差数列 中,有关 的最值问题常用邻项变号法来求解,分类如下:
(1)当 时,满足 的项数 ,使得 取最大值;
(2)当 时,满足 的项数 ,使得 取最小值;
说明: 存在最大值,只需 , 存在最小值,只需 。
11、若 为等比数列,则连续 项的和组成的数列 仍为等比数列。( )。
12、若 为等比数列,且 则 ;
,
13、若 为等比数列, 、、成等差数列,则 、、成等比数列,其中 、、
14、若 为等比数列,则 。
15、若 为等差数列,则 。
16、 ;
;
。
17、两个特殊的裂项: , 。
18、由递推公式求数列通项公式类型与方法归类:
类型(ⅰ)方法:累加法
累加公式:
类型(ⅱ) 方法:累乘法
累乘公式:
类型(ⅲ) 方法:不动点法
配成 ,等比数列,其中 ;
类型(ⅳ) 方法有二
方法一:可配成 ,即类型(ⅲ),配成等比数列.
方法二:可变成 ,即类型(ⅰ),累加法.
类型(ⅴ) 方法:取对数法
等价变形为: ,即类型(ⅲ),配成等比数列.
类型(ⅵ) 方法:特征方程法
(1)若 ,原式可变成: ,先求等比,再累加求 .
(2)若 ,考察特征方程, ,设其两根为 ,分类讨论如下:
①若 ,可求
②若 ,可求 (其中a,b的值由 解出)
类型(ⅶ) 方法:不动点法
类型(ⅷ)方法:不动点法 说明:“不动点法”可参考相关文献
特别地:选择或填空题中,若所求数列某项的项数较大,且求通项不容易,则该数列可能为周
期数列,可通过归纳求某项。
19、求数列前 项和类型与方法归类
(1)若 为等差数列, 为等比数列,则数列 前 项的和可用错位相减法求得。
(2)如果一个数列 ,与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,这样的数列可用倒序相加法求和。
形如下列题型:已知函数 为定值 ,
求 的值,就可用倒序相加法求和。
(3)若通项为 个连续自然数积的倒数,则一般可用裂项法求前 项的和。如 是公差为 的等差数列,则有 ,
(4)当一个数列既不是等差数列又不是等比数列时,如果能将这个数列分解为一个等差数列和一个等比数列对应项相加得到的一个新数列,此时可用分组法求和(有时按奇数项和偶数项分组)。
20、数列 是公差非零的等差数列的充要条件是: 是关于 的一次函数,或 是关于 的不含常数项的二次函数。(有时可设 ,若 ,则 是常数列)
21、等差数列 的前 项的算术平均值 是等差数列,等比数列前 项的几何平均值是等比数列。
22、一般地,若 为等差数列, 是 的前 项和,则 也是等差数列。
23、等差数列 中, , 且 ,则使前 项和 成立的最大自然数 是 。
篇9：数列求通项的方法总结
数列求通项的方法总结
按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an} 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。为大家总结数列求通项的方法，一起来看看吧！
一、累差法
递推式为：an+1=an+f(n)(f(n)可求和)
思路：:令n=1,2,…,n-1可得
a2-a1=f(1)
a3-a2=f(2)
a4-a3=f(3)
……
an-an-1=f(n-1)
将这个式子累加起来可得
an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)
∵f(n)可求和
∴an=a1+f(1)+f(2)+ …+f(n-1)
当然我们还要验证当n=1时,a1是否满足上式
例1、已知数列{a}中,a1=1,an+1=an+2,求an
解： 令n=1,2,…,n-1可得
a2-a1=2
a3-a2=22
a4-a3=23
……
an-an-1=2n-1
将这个式子累加起来可得
an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)
∵f(n)可求和
∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)
当n=1时,a1适合上式
故an=2n-1
二、累商法
递推式为：an+1=f(n)an（f(n)要可求积）
思路：令n=1,2, …,n-1可得
a2/a1=f(1)
a3/a2=f(2)
a4/a3=f(3)
……
an/an-1=f(n-1)
将这个式子相乘可得an/a1=f(1)f(2) …f(n-1)
∵f(n)可求积
∴an=a1f(1)f(2) …f(n-1)
当然我们还要验证当n=1时，a1是否适合上式
例2、在数列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an
解： 令n=1,2, …,n-1可得
a2/a1=f(1)
a3/a2=f(2)
a4/a3=f(3)
……
an/an-1=f(n-1)
将这个式子相乘后可得an/a1=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1)
即an=2n
当n=1时，an也适合上式
∴an=2n
三,构造法
1、递推关系式为an+1=pan+q (p,q为常数)
思路：设递推式可化为an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)
故可将递推式化为an+1+x=p(an+x)
构造数列{bn},bn=an+q/(p-1)
bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}为等比数列.
故可求出bn=f(n)再将bn=an+q/(p-1)代入即可得an
例3、(06重庆)数列{an}中,对于n>1(nN)有an=2an-1+3,求an
解：设递推式可化为an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3
故可将递推式化为an+3=2(an-1+3)
构造数列{bn},bn=an+3
bn=2bn-1即bn/bn-1=2,{bn}为等比数列且公比为3
bn=bn-1·3,bn=an+3
bn=4×3n-1
an+3=4×3n-1,an=4×3n-1-1
2、递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数)
思路：在an+1=pan+qn两边同时除以qn+1得
an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q
构造数列{bn},bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q
故可利用上类型的解法得到bn=f(n)
再将代入上式即可得an
例4、数列{an}中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an
解： 在an+1=(1/3)an+(1/2)n两边同时除以(1/2)n+1得
2n+1an+1=(2/3)×2nan+1
构造数列{bn},bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1
故可利用上类型解法解得bn=3-2×(2/3)n
2nan=3-2×(2/3)n
an=3×(1/2)n-2×(1/3)n
3、递推式为：an+2=pan+1+qan（p,q为常数）
思路：设an+2=pan+1+qan变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan)
也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到x+y=p,xy= -q
解得x,y，于是｛bn｝就是公比为y的等比数列（其中bn=an+1-xan）
这样就转化为前面讲过的类型了．
例5、已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)·an+1+(1/3)·an,求an
解：设an+2=(2/3)an+1+(1/3)an可以变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan)
也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到x+y=2/3,xy= -1/3
可取x=1,y= -1/3
构造数列｛bn｝，bn=an+1-an
故数列｛bn｝是公比为-1/3的等比数列
即bn=b1(-1/3)n-1
b1=a2-a1=2-1=1
bn=(-1/3)n-1
an+1-an=(-1/3)n-1
故我们可以利用上一类型的`解法求得an=1+3/4×[1-(-1/3)n-1](nN*)
例题
1、利用sn和n的关系求an
思路：当n=1时，an=sn
当n≥2 时, an=sn-sn-1
例6、已知数列前项和s=n2+1,求{an}的通项公式.
解：当n=1时，an=sn＝2
当n≥2 时, an=sn-sn-1＝n+1-[(n-1)2+1]=2n-1
而n=1时，a1=2不适合上式
∴当n=1时，an=2
当n≥2 时, an=2n-1
2、利用sn和an的关系求an
思路：利用an=sn-sn-1可以得到递推关系式，这样我们就可以利用前面讲过的方法求解
例7、在数列｛an｝中，已知sn=3+2an，求an
解：即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1)
an=2an-1
∴｛an｝是以2为公比的等比数列
∴an=a1·2n-1= -3×2n-1
2、用不完全归纳法猜想,用数学归纳法证明.
思路:由已知条件先求出数列前几项，由此归纳猜想出an，再用数学归纳法证明
例8、(全国高考)已知数列{an}中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求an
解：由已知可得a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6
由此猜想an=n+1，下用数学归纳法证明：
当n=1时，左边＝2，右边＝2，左边＝右边
即当n=1时命题成立
假设当n=k时，命题成立，即ak=k+1
则 ak+1=a2k-kak+1
=(k+1)2-k(k+1)+1
=k2+2k+1-k2-2k+1
=k+2
=(k+1)+1
∴当n=k+1时，命题也成立．
综合(1),(2),对于任意正整数有an=n+1成立
即an=n+1
篇10：求数列通项的方法总结
求数列通项的方法总结
求数列的通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，分享了求数列通项的方法，一起来看看吧！
一、累加法：利用an=a1+（a2-a1）+…（an-an-1）求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an+1=an+f（n）的递推数列通项公式的基本方法（f（n）可求前n项和）.
例1.已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。
解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则
an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1
=[2（n-1）+1]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1
=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1
=2+（n-1）+1
=（n-1）（n+1）+1
=n2
所以数列an的通项公式为an=n2。
例2：在数列{an}中，已知an+1= ，求该数列的通项公式.
备注：取倒数之后变成逐差法。
解：两边取倒数递推式化为：=+，即-=所以-=，-=，-=…-=.…，
将以上n-1个式子相加，得：-=++…+即=+++…+==1-故an==
二、累乘法：利用恒等式an=a1…（an≠0，n？叟n）求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如：an+1=g（n）an的递推数列通项公式的基本方法（数列g（n）可求前n项积）.
例3.已知数列{an}中a1=，an=an-1（n？叟2）求数列{an}的通项公式。
解：当n？叟2时，=，=，=，…=将这n-1个式子累乘，得到=，从而an=×=，当n=1时，==a1，所以an= 。
注：在运用累乘法时，还是要特别注意项数，计算时项数容易出错.
三、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1（n？叟2），等差数列或等比数列的通项公式。
例4.已知Sn为数列an的前n项和，且Sn=2n+1，求数列an的通项公式.
解：当n=1时，a1=S1=2+1=3，当n？叟2时，an=Sn-Sn-1=（2n+1）-（2n-1+1）=2n-1.
而n=1时，21-1=1≠a1，∴an3（n=1）2n-1（n？叟2）。
四、构造新数列（待定系数法）： ①将递推公式an+1=qan+d（q，d为常数，q≠0，d≠0）通过（an+1+x）=q（an+x）与原递推公式恒等变成an+1+=q（an+）的方法叫构造新数列.
例5.在数列an中，a1=1，当n？叟2时，有an=3an-1+2，求an的通项公式。
解：设an+m=3（an-1+m），即有an=3an-1+2m，对比an=3an-1+2，得m=1，于是得an+1=3（an-1+1），数列an+1是以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列，所以有an=23n-1-1。
类似题型练习：已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）求数列an的.通项公式.
注：此种类型an+1=pan+g（n）（p为常数，且p≠0，p≠1）与上式的区别，其解法如下：将等式两边同除以pn+1，则=+，令bn=，则bn+1=bn=，这样此种数列求通项的问题可以转化为逐差法的问题，当然这种数列的通项公式也常用待定系数法解决，关键要根据g（n）选择适当的形式。
如：an的首项a1=1，且an+1=4an+2n，求an
五、数学归纳法（用不完全归纳法猜想，用数学归纳法证明）
例6.设数列an满足：a1=1，an+1an-2n2（an+1-an）+1=0求数列an的通项公式.
解：由an+1an-2n2（an+1-an）+1=0得an+1=，可算得a2=3，a3=5，a4=7，猜想an=2n-1，并用数学归纳法予以证明（以下略）
六、待定系数法
例7.已知数列an满足an+1=2an+3×5n，a1=6，求数列an的通项公式。
解：设an+1+x×5n+1=2（an+x×5n） ④
将an+1=2an+3×5n代入④式，得2an+3×5n+x×5n+1=2an+2x×5n，等式两边消去2an，得35n+x5n+1=2x5n，两边除以5n，得3+5x=2x，则x=-1，代入④式得an+1-5n+1=2（an-5n） ⑤
由a1-51=6-5=1≠0及⑤式得an-5n≠0，则=2，则数列{an-5n}是以a1-51=1为首项，以2为公比的等比数列，则an-5n=2n-1，故an=2n-1+5n。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+3×5n转化为an-1-5n+1=2（an-5n），从而可知数列{an-5n}是等比数列，进而求出数列{an-5n}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。
七、特征根法
形如递推公式为an+2=pan+1+qan（其中p，q均为常数）。对于由递推公式an+2=pan+1+qan，a1=α，a2=β，给出的数列an，方程x2-px-q=0，叫做数列an的特征方程。
若x1，x2是特征方程的两个根， 当x1≠x2时，数列an的通项为an=Axn-11+Bxn-12，其中A，B由a1=α，a2=β决定（即把a1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=Axn-11+Bxn-12，得到关于A、B的方程组）；
当x1=x2时，数列an的通项为an=（A+Bn）xn-11，其中A，B由1=α，a2=β决定（即把a1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=（A+Bn）xn-11，得到关于A、B的方程组）。
例8.数列an：3an+2-5an+1+2an=0（n？叟0，n∈N），a1=a，a2=b求an
解：特征方程是3x2-5x+2=0，∵x1=1，x2= ，∴an=Axn-11+Bxn-12=A+Bn-1。
又由a1=a，a2=b，于是a=A+Bb=A+B？圯A=3b-2aB=3（a-b）
故an=3b-2a+3（a-b）（）n-1
篇11：利用函数不动点求数列的通项公式
利用函数不动点求数列的通项公式
递推公式是给定数列的一种重要的.方式,已知数列的前,n项和递推公式求数列通项公式的试题在数学高考和竞赛中也屡见不鲜.
作 者：林国夫 作者单位：浙江省上虞市春晖中学,312353 刊 名：数学通报 PKU英文刊名：BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS 年，卷(期)： 47(12) 分类号：O1 关键词：篇12：高中数学数列教案
教学目标
1.明确等差数列的定义.
2.掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题
3.培养学生观察、归纳能力.
教学重点
1. 等差数列的概念;
2. 等差数列的通项公式
教学难点
等差数列“等差”特点的理解、把握和应用
教具准备
投影片1张(内容见下面)
教学过程
(I)复习回顾
师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。(放投影片)
(Ⅱ)讲授新课
师：看这些数列有什么共同的特点?
1，2，3，4，5，6; ①
10，8，6，4，2，…; ②
生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①(1≤n≤6);(2≤n≤6)
对于数列②-2n(n≥1)(n≥2)
对于数列③(n≥1)(n≥2)
共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，-2， 。
二、等差数列的通项公式
师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
若将这n-1个等式相加，则可得：
即：即：即：……
由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①(1≤n≤6)
数列②：(n≥1)
数列③：(n≥1)
由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解
例1：(1)求等差数列8，5，2…的第20项
(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项?如果是，是第几项?
解：(1)由n=20，得(2)由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。
(Ⅲ)课堂练习
生：(口答)课本P118练习3
(书面练习)课本P117练习1
师：组织学生自评练习(同桌讨论)
(Ⅳ)课时小结
师：本节主要内容为：①等差数列定义。
即(n≥2)
②等差数列通项公式 (n≥1)
推导出公式：(V)课后作业
一、课本P118习题3.2 1，2
二、1.预习内容：课本P116例2P117例4
2.预习提纲：
①如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题?
②等差数列有哪些性质?
板书设计
课题
一、定义
1. (n≥2)
一、通项公式
2. 公式推导过程
例题
教学后记
篇13：高中数学数列教案
一、设计思想
本节课是数列的起始课，着重研究数列的概念，明确数列与函数的关系，用函数的思想看待数列。通过引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，并与集合类比，通过类比，学生能认识到数列的明确性、有序性和可重复性的特点。在体会数列与集合的区别中，学生意识到数列中的每一项与所在位置有关，并通研究数列的表示法，学生意识到数列中还有潜在的自变量——序号，从而发现数列也是一种特殊的函数，能用函数的观点重新看待数列。
二、教学目标
1. 通过自然界和生活中实例，学生意识到有序的数是存在的，能概况出数列的概念，并能辨析出数列和集合的区别;
2. 通过思考数列的表示，学生意识到可以用表达式简洁的表达数列，能分析出数列的项是与序号相关，需要借助于序号来表示数列的项;
3. 在用表达式表示数列的过程中，学生发现项与序号的对应关系，认识到数列是一种特殊的函数，能用函数的观点重新研究数列;
4. 通过对一列数的观察，能用联系的观点看待数列，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力.
5. 从现实出发，学生能抽象出现实生活中的数列
重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型 难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系
三、教学过程
活动一：生活中实例，概括出数列的概念
1. 背景引入：
观察以下情境：
情境1: 各年树木的枝干数: 1，1，2，3，5，8，... 情境2:某彗星出现的年份: 1740，1823，1906，1989，2072，...
情境3:细胞分裂的个数: 1，2，4，8，16，... 情境4 : A同学最近6次考试的名次 17, 18, 5, 8, 10, 8
情境5: 奇虎360 最近一个周每日的收盘价：
问题1：以上各情境中都有一系列的数，你看了这些数，有什么感受?
或者有什么共同特征?
共同特点:
(1)排成一列，可以表达信息
(2)顺序不能交换，否则意义不一样.
设计思想:通过例子，学生感受到数列在现实生活中是大量存在的,一列数的顺序是蕴含信息的,从而感受到数列的有序性。
2. 数列的概念
(1)数列、项的定义：
通过上述的例子，让学生思考以上一列数据共同的特征，从而归纳出数列的定义：
按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。 问题2：能否用准确的语言给我描述一下情境4中的数列?
设计思想：通过让学生描述，学生再次体会数列中除了数之外，还蕴含着重要的信息：序号。
问题3：这两个数都是8，表示的含义是否一样?
不一样，第四项，第六项，即每一项结合序号才有意义，所以，描述数列的项时必须包含位置信息，即序号。
排在第一位的叫首项，排在第二位的叫第二项……排在第n位的数
问题4：根据对数列的理解，你能否举出数列的例子?
答：我校高一年级各班的人数。
问题5：能否抽象出数列的一般形式?
a1,a2,a3,...,an,...,记为 ?an?
(2)数列与集合的区别
问题6：数列是集合吗?
通过与集合的特点进行对比，更清楚的数列的特点。
让学生与前一章学习的集合做比较，可以更清楚的了解到数列的本质性的定义。也符合建构主义的旧知基础上形成新知的有效学习。
(3)数列的分类?能不能不讲?
活动二：思考数列的表示——通项公式
3. 通项公式的概念
问题7: 对于上述情境中的数列，有没有更简洁的表示方式?
学生活动：学生可能会用序号n来表示，问学生为什么用n来表示，引出通项公式的概念
一般地，如果数列?an?的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示.那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
4. 通项公式的存在性
问题8：是否任意一个数列都能写出通项公式?
写出通项公式
活动三：用函数的观点看待数列
5. 数列也是函数
问题9：在数列?an?中，对于每一个正整数n(或n??1,2,...,k?)，是不是都有一个数an与之对应?
问题10：数列是不是函数?
通过前铺垫，学生观察数列的项与它数列中的序号之间的对应关系，让学生理解数列是函数。
把序号看作看作自变量，数列中的项看作随之变动的量，用函数的观点来深化数列的概念。
6. 用函数的观点看待数列
问题11：所以，除了用解析式表示数列，还有哪些方法?
再从函数的表示方法过渡到数列的三种表示方法：列表法，图象法，通项公式法。学生通过观察发现数列的图象是一些离散的点。
例2.已知数列?an?的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象： (?1)nn(1)an?; (2).an?n n?12
问题12：数列的图象的特点是什么?
数列的图象是一些孤立的点。
通过学生观察数列的项与它数列中的序号之间的对应关系，让学生理解数列是以特殊的函数，再从函数的表示方法过度到数列的三种表示方法：列表法，图象法，数列的通项。学生通过观察发现数列的图象是一些离散的点。最后通过通项求数列的项，进而升华到观察数列的前几项写出数列的通项。
【课堂小结】
1.数列的概念;
2.求数列的通项公式的要领.
