八年级数学勾股定理教案
【简介】感谢网友“zoo大福”参与投稿，下面是小编整理的八年级数学勾股定理教案（共12篇），欢迎您阅读，希望对您有所帮助。
篇1：八年级数学《勾股定理》教案
八年级数学《勾股定理》教案精选
教学目标
1、知识与技能目标
学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念．
2、过程与方法
(1)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力．
(2)在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
3、情感态度与价值观
(1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣．
(2)在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．
教学重点：
探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题．
教学难点：
利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题．
教学准备：
多媒体
教学过程：
第一环节：创设情境，引入新课（3分钟，学生观察、猜想）
情景：
如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
第二环节：合作探究（15分钟，学生分组合作探究）
学生分为4人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的`方法：建立数学模型，构图，计算．
学生汇总了四种方案：
（1） （2） （3）（4）
学生很容易算出：情形（1）中A→B的路线长为：AA’+d，情形（2）中A→B的路线长为：AA’+πd／2所以情形（1）的路线比情形（2）要短．
学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA’剪开圆柱得到矩形，前三种情形A→B是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）最短．
如图：
（1）中A→B的路线长为：AA’+d;
（2）中A→B的路线长为：AA’+A’B>AB;
（3）中A→B的路线长为：AO+OB>AB;
（4）中A→B的路线长为：AB.
得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算AB？
在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圆柱体高为12c，底面半径为3c，π取3，则.
第三环节：做一做（7分钟，学生合作探究）
教材23页
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
第四环节：巩固练习（10分钟，学生独立完成）
1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5/h的速度向正北行走．上午10：00， 甲、乙两人相距多远？
2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．
3．有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒有多长？
第五环节 课堂小结（3分钟，师生问答）
内容：
1、如何利用勾股定理及逆定理解决最短路程问题？
第六 环节：布置作业（2分钟，学生分别记录）
内容：
作业：1．课本习题1．5第1，2，3题．
要求：A组（学优生）：1、2、3
B组（中等生）：1、2
C组（后三分之一生）：1
板书设计：
教学反思：
篇2：八年级数学勾股定理教案
教学目标：
知识与技能
1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用;
2.进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型.
3.会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论.
情感态度与价值观
敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识.
教学重点
运用身边熟悉的事物，从多种角度发展数感，会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论.
教学难点
会辨析哪些问题应用哪个结论.
课前准备
标有单位长度的细绳、三角板、量角器、题篇
教学过程：
复习引入：
请学生复述勾股定理;使用勾股定理的前提条件是什么?
已知△ABC的两边AB=5，AC=12，则BC=13对吗?
创设问题情景：由课前准备好的一组学生以小品的形式演示教材第9页古埃及造直角的方法.
这样做得到的是一个直角三角形吗?
提出课题：能得到直角三角形吗
讲授新课：
⒈如何来判断?(用直角三角板检验)
这个三角形的三边分别是多少?(一份视为1)它们之间存在着怎样的关系?
就是说，如果三角形的三边为，，，请猜想在什么条件下，以这三边组成的三角形是直角三角形?(当满足较小两边的平方和等于较大边的平方时)
⒉继续尝试：下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：
5，12，13;6,8,10;8，15，17.
(1)这三组数都满足a2+b2=c2吗?
(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?
⒊直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
⒋例1一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗?
随堂练习：
⒈下列几组数能否作为直角三角形的三边长?说说你的理由.
⑴9，12，15;⑵15，36，39;
⑶12，35，36;⑷12，18，22.
⒉已知∆ABC中BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_______三角形,______是角.
⒊四边形ABCD中已知AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠ABC=900，求这个四边形的面积.
⒋习题1.3
课堂小结：
⒈直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
⒉满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.
§1.3.勾股定理的应用
教学目标
教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.
能力训练要求：1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.
2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
情感与价值观要求：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.
2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学.
教学重点难点：
重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.
难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.
教学过程
1、创设问题情境，引入新课：
前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗?
例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子?
根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132;AB=13米.
所以至少需13米长的梯子.
2、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近
出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少?(π的值取3).
(1)同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢?(小组讨论)
(2)如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么?你画对了吗?
(3)蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?(学生分组讨论，公布结果)
我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图).
我们不难发现，刚才几位同学的走法：
(1)A→A′→B;(2)A→B′→B;
(3)A→D→B;(4)A—→B.
哪条路线是最短呢?你画对了吗?
第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.
②、做一做：教材14页。李叔叔随身只带卷尺检测AD，BC是否与底边AB垂直，也就是要检测∠DAB=90°，∠CBA=90°.连结BD或AC，也就是要检测△DAB和△CBA是否为直角三角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题.
③、随堂练习
出示投影片
1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶00，甲、乙两人相距多远?
2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长?
1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.
解：(如图)根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B点，则AB=2×6=12(千米);乙到达C点，则AC=1×5=5(千米).
在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米.
2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.
解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.
(1)x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5
所以最长是2.5+0.5=3(米).
(2)x=1.5，最短是1.5+0.5=2(米).
答：这根铁棒的长应在2~3米之间(包含2米、3米).
3.试一试(课本P15)
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少?
我们可以将这个实际问题转化成数学模型.
解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得
(x+1)2=x2+52，x2+2x+1=x2+25
解得x=12
则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.
④、课时小结
这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型.
⑤、课后作业
课本P25、习题1.52
篇3：八年级数学勾股定理教学计划
八年级数学勾股定理教学计划
一、内容和内容解析
本节课为人教版八年级数学下册第十八章第一节，教材64页至66页(不含探究1)的内容。其内容包括章前对勾股定理整章的引入：北京召开的国际数学家大会的会徽及“赵爽弦图”的简介，反映了我国古代对勾股定理的研究成果，是对学生进行爱国主义教育的良好素材。教材正文中从毕达哥拉斯发现等腰直角三角形的边之间的数量关系这一事实引入对勾股定理的探究，用面积法得到勾股定理的结论，而后教材又重点从“赵爽弦图”的方法对勾股定理进行了详细的论证;课后习题18.1的第1、2、7、11、12等题目针对勾股定理的内容适当的加以巩固，特别是第11、12题侧重对面积法运用的巩固。
勾股定理是几何中几个重要定理之一，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是对直角三角形性质的进一步学习和深入，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，在实际生活中用途很大。它不仅在数学领域而且在其他自然科学领域中也被广泛地应用，而说明数学是一门基础学科，是人们生活的基本工具。
学生接受勾股定理的内容“在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方”这一事实从学习的角度不难，包括对它的应用也不成问题。但对勾股定理的论证，教材中介绍的面积证法即：依据图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变。学生接受起来有障碍(是第一次接触面积法)，因此从面积的“分割”“补全”两种方法进行演示同时学生动手亲自拼接图形构成“赵爽弦图”并亲自验证三个正方形之间的面积关系得到勾股定理的证明。有利的让学生经历了“感知、猜想、验证、概括、证明”的认知过程，感触知识的产生、发展、形成以提高学生学习习惯和能力。
本节的后续学习中，对勾股定理运用的探究和勾股定理逆命题的论证和应用，都是将图形与数量紧密的结合，将有利的培养学生数形结合的意识以提高学生分析问题、解决问题的能力。同时也为后期学习四边形、圆中的有关计算及计算物体面积奠定基础，因此本节课无论从知识的角度还是从数学技能、数学思想方法及数学活动经验等层面都起着举足轻重的作用。为此，教学重点：勾股定理的内容教学难点：勾股定理的论证
二、教学目标及目标解析
1、教学目标
①了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理的内容。
②在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。
③通过观察课件探究拼图等活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维，体验解决问题方法的多样性，并学会与人合作、与人交流，培养学生的合作交流意识和探索精神。
④在对勾股定理历史的了解过程中，感受数学文化，增强爱国情操，激发学习热情，养成关爱生活、观察生活、思考生活的习惯。
2、目标解析
①通过学生了解“赵爽弦图”、了解“毕达哥拉斯”探究勾股定理的过程而猜想、验证勾股定理，自愿接受这一理论事实并能简单运用。
②通过面积法探究勾股定理，让学生感触到直角三角形这一图形与a2+b2=c2数量关系建立对应关系，同时不同图形从面积角度的论证得到面积的割补是形的变化而面积这一数量不变。更深层次的建立数形结合的方法。
③通过观察、探究的活动让学生感触知识的产生过程，学生从中学会合作交流，协作探究、归纳总结的学习方法，提高学生的探索能力。
④勾股定理知识是我国数学领域的璀璨明珠，代表着历代人民智慧和探索精神的结晶。通过学生亲身再次重温它的得来的过程从中感触我国数学知识源远流长和数学价值的伟大从中得到良好的思想的熏陶。
三、教学问题诊断分析
学生对勾股定理的形式容易接受甚至利用结论进行有关的计算难度也不大，但究其缘由有难度，这正是数学学习活动中学生要具备的基本的学习品质和学习技能。所以，在学习勾股定理由来的教学时，应有针对性地设计图形形式的多样呈现，让学生亲自动手拼接图形来揭示概念的由来及正确性。
对于图形面积的计算学生有基本的技能，但如何最合理的进行分割或补全一时是不易理解，这属于思想方法层面的问题，学生往往只停留在能听懂，但不能内化的层面，需要我进行精心的设计，充分展示“分割、补全、拼凑”以发挥教师的引导作用，为学生探究一般的直角三角形的三边关系做好铺垫，为数学多渠道多方法的探究证明做好引导。
四、教学支持条件分析
根据本节课的教材内容特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，提高课堂效率，采用以观察发现、动手操练、演算探究为主，多媒体演示为辅的教学组织方式.在教学过程中，给学生提供充足的活动时间和空间，以我设计探究实验和带有启发性及思考性的问题串，创设问题情景，启发学生思维，学生亲自动手操作、测量、演算，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程.
五、教学过程设计
（一）创设情境，导入新课。
问题1：请同学们欣赏国际数学家大会会场情景的的图片，重点抽取会徽图案，你能发现它是有什么图形构成的?(材料附后)
教师展示ppt课件，介绍数学家大会及会徽“赵爽弦图”，学生观察、发表意见、聆听介绍。
【设计意图】以国际数学家大会——“赵爽弦图”为背景导入新课，提出问题，首先可以激发学生强烈的'好奇心和求知欲，感受我国古代数学知识的伟大，进行爱国教育，增强学好数学的信心;其次让学生在观察、思考、交流的过程中，对勾股定理先有初步的感性认识.
方案1：如果学生能够说出勾股定理的相关知识，则直接进入下一环节的学习。
方案2：如果学生有困难，则安排学生自学教材，再发表意见。
学生发言，教师倾听。视学生回答的重点板书：勾三股四弦五等。
【设计意图】教师获得学生的知识储备以便以后的教学定位。再次让学生感触勾股定理的存在、作用即勾股定理是研究直角三角形边之间的关系的定理，明确学习目标。
（二）观察演算，合作探究，初具概念
问题3：介绍毕达哥拉斯发现勾股定理的故事。利用ppt课件展示毕达哥拉斯的发现和他的探究的过程。提问：这三个正方形之间的面积有什么关系?从中可以转化得到等腰直角三角形三边在数量上有什么关系?(故事附后)
教师口述故事，ppt课件同步演示;学生借助直观的课件，学生个体或学生间观察交流探究得到结论。
【设计意图】首先，故事中代出问题既激发学生的兴趣又降低了学生探究的难度，让每个学生都可做，可得;其次得到三个正方形面积间的关系而得到等腰直角三角形三边之间的关系，由特殊的图形为研究定理的一般性做好铺垫;再者学生初步具有了勾股定理的雏形，即在等腰直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
问题4：毕达哥拉斯想到：这一结论是不是所有的直角三角形都具备呢?于是展开了进一步的探索。
教师利用ppt课件展示，提出问题;学生利用《学习案》中第1题自己进一步探究，交流;猜测验证。(学习案附后)
【设计意图】问题更深一层次，调动学生高涨的探究热情，同时有效的渗透了由特殊到一般的数学思想。
问题5：你是怎样演算的?
教师关注学生之间的交流，关注学生借助面积法探究问题的不同解法，选取代表性的方法演示。学生个体或小组探究、交流。
视学生的学习情况确定下步的教学：
方案1：学生能够用面积分割法如图一或用面积补全法如图二的方法验证了结论，则直接进行下一步的教学。
方案2：学生不能够得到，探究学习有困难，则教师借助ppt课件演示，精讲点拨面积的割补法，对命题进行验证。
【设计意图】教无定法，视学定教;学生是学习的主人，教师是学生学习的合作者。学生亲自画图，演算，利于对结论的理解。亲身感受知识的产生、形成，初步体会面积法;再次了解勾股定理。
问题6：通过我们大家一起的实验，你得到任意直角三角形的三边之间有什么关系吗?试用语言描述。
学生描述，教师板书。
【设计意图】加深对勾股定理内容的叙述、理解，达成目标。体会数学观察---探究---整理----归纳的数学方法，体验学习的成功。
（三）引导实验，探究论证，形成体系。
问题7：我们已经对直角三角形三边之间关系有了充分的认识。但它的正确性需要数学理论做基础，我国古代数学家赵爽就对该命题进行了严谨的论证。我们刚才欣赏的会徽就是他的论证方法。下面我们一起进行论证。
教师用ppt课件演示拼凑过程，精讲强调面积的无缝、不重叠拼接得到面积相等。
【设计意图】上一环节是从数字上的验证，本环节上升到理论层面，以加强数学学习的严谨性。让学生学懂面积法，再次加深对勾股定理的理解。感受我国数学知识的悠久历史，唤起爱国精神，启发学习数学的兴趣。
问题8：学生用4个全等的直角三角形重新拼凑图形并根据排放画出图形并用面积法进行论证。
学生或小组间进行合作实验，共同协作探究;教师巡视指导。
【设计意图】学生自主探究，再次理解勾股定理，学会面积法论证勾股定理。培养学生的动手探究能力，养成严谨的学习习惯;学会交流，达到知识、方法共享，体验合作的乐趣、合作的成功。
问题9：教师选取代表性的拼接方法，全班展示。
【设计意图】共享知识，拓展思路，体会一题多解，更深层次的了解掌握勾股定理。
（四）归纳提高，巩固运用，形成能力。
问题10：我们这节课研究的勾股定理是对什么的研究?它侧重是研究直角三角形的什么关系?以前学习直角三角形的哪些知识?
学生回忆，发言。教师强调：勾股定理的前提条件是直角三角形，也就是说其他的三角形是不具备的，但要解决其他三角形的计算问题，我们要借助辅助线(特别是高线)把它转化为直角三角形。教师板书。
【设计意图】更新知识系统，逐渐完善知识脉络，提高分析问题解决问题的能力。
问题11：完成以下练习题
教材69页第1题、
学生独立完成;教师巡视指导，板书得数，介绍勾股数。
【设计意图】第1题针对勾股定理的直接运用。提高学生对新知识的理解、运用。巩固目标。
（五）归纳小结，反思提高
问题12：通过本节课的学习，你有哪些收获?
学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法及评价学生在课堂上的表现对学生进行思想教育。
篇4：八年级数学上册勾股定理
（小组合作成果展示） www.baidu.com/s?tn=site888_pg&lm=-1&word=%B1%CF%B4%EF%B8%E7%C0%AD%CB%B9%B6%A8%C0%ED
1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 ── 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对勾股定理的说明（图1）。希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里。
图1 图2
问题①：同学们，你能在刚才网格纸上的.两个直角三角形画出类似的图形吗？（学生展示成果：例如图2） 问题②：同学们，你发现正方形的面积之间的数量关系吗？
（小组讨论交流--小组代表发言--小组归纳结论）
学生归纳结论：
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
教师引导学生将“上面的面积转化成三角形边长的平方”，归纳勾股定理的内容：
勾股定理：
如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 勾弦
股a2?b2?c2．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
设计意图：学生课前准备的在互联网上百度搜集的资料进行展示，通过画图动手实践，老师提出问题，学生小组讨论交流，总结归纳勾股定理的内容，让学生感受从特殊到一般的数学变化过程和数学转化的思想。 问题③：同学们，你能用手中的四个全等三角形拼成一个大正方形吗？
2、勾股定理的证明
篇5：八年级数学上册勾股定理
（小组合作成果展示） www.baidu.com/s?tn=site888_pg&lm=-1&word=%D5%D4%CB%AC%CF%D2%CD%BC
勾股圆方图
图3 图4
赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。
如图3，图4,在边长为c的正方形中,有四个斜边是c的全等直角三角形,已知它们的直角边分别是a, b .说明我国古代数学家赵爽在他所著的中,利用这个图证明勾股定理.
问题④：你能用这两个图形的面积证明勾股定理吗？
（小组合作讨论证明过程---小组代表展示证明结果--其他小组点评）
设计意图：给学生一个开放性的问题，用课前准备好的四个全等直角三角形拼一大正方形，学生方法会有很多，选出代表性强的例子，让学生完成勾股定理的一种证明方法。小组合作学习可带动小组的每个学生的参与，可用集体的智慧完成有难度的证明过程，老师引导学生用正方形和四个直角三角形的面积关系去证明结论。 问题⑤：同学们，还有其他勾股定理的证明方法吗？
（各小组在准备的资料中查找其他证明方法）
篇6：八年级数学上册勾股定理
（小组合作成果展示） www.baidu.com/s?tn=site888_pg&lm=-1&word=%B9%B4%B9%C9%B6%A8%C0%ED%D6%A4%C3%F7%B7%BD%B7%A8
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．
22s1?2(a?b)(a?b)?2(a?2ab?b)
b
a b 212?1a?b?aba 22s2?ab?ab?c?ab?2222cs1?s2 222a2?2b?ab?ab?2c
a2?b2?c2
问题⑥：同学们，你能说说这些证明勾股定理的方法有什么共同特征吗？
（小组讨论交流---小组代表发言--教师归纳总结：面积割补法，数形结合法）
设计意图：勾股定理证明是本节课的重点，用多种方法解决问题，开拓学生的思维。通过探索勾股定理证明的过程，以小组为单位合作交流，充分体现课堂中学生为主体，教师问题引导为主线，从而实现对主要知识点的探索。
三、勾股定理的简单应用
例题 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多少千米？
四、基础巩固练习
填一填
1、在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________；（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。
2、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。(答：A=________，y=________，B=________。
3、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm。
（学生独立思考完成本环节问题，以学生口答和上黑板演示过程为主）
设计意图：例题是前后呼应，解决实际问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，练习第1、2题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．练习第3题是拓展性问题，，本环节意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.
五、课堂小结
问题⑦：这节课你学到了哪些知识和数学思想方法？
你对这些知识有什么感悟，体会到了什么？
（小组讨论交流---小组代表发言--教师总结归纳思想方法：面积法，特殊--一般--特殊，数形结合等）
六、课后训练
1、如图，在SABC中，∠ACB=90，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB与D,
求：（1
），AC的长； （2）SABC的面积； （3）CD的长。
022、要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物6m，至少需要多长的梯子？（画出示意图）
3、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗？
设计意图：课后训练作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识；作业2是会画图用勾股定理解决实际问题，扩展学生的知识面；作业3是为了拓展思维，进行课后小组合作探究而设计，通过这些题目可让学生进一步认识和掌握勾股定理．
七、课后教学反思
数学来源于生活，来源于实践，让生活中处处有数学的思想走进我们的课堂，进一步加强“书本世界”与学生“生活世界”的联系，改变学生学习数学苍白无味的状态，给数学课堂增加“营养”。让学生根据数学上的问题到现实世界中去寻找生活素材，让数学贴近生活，用具体、生动、形象、可感知的实例来解释数学问题，使学生体会到数学的价值。反思本节课，在内容上关注生活素材，让学生在具体的情境中发现、使用勾股定理。在教学过程中利用互联网百度搜索给出几种著名的证法和勾股定理的相关历史，感兴趣学生的课前探索，感受到数学证明的灵活、优美与精巧，感受勾股定理的丰富文化内涵。
这一课的学习主要通过创设情境--发现问题--小组讨论--成果展示--组间点评的小组合作学习课堂教学模式，让学生自主地探索知识，从而将其转化为自己的，真正做到了先激发兴趣，再合作交流，最后展示成果的自主学习。小组合作学习要尊重学生意愿，合理组建合作学习小组；任务明确，落实到人，分工合作；把握小组合作学习的时机；给弱势群体以更多的关怀，给予更多的机会。小组合作学习并不是仅仅意味着安排学生按小组坐在一苏教版八年级数学上册勾股定理起去完成一个任务，他需要教师对小组活动过程的各个方面，尤其结合学科的特点给予认真地思考和关注。合作学习是学生的一种学习方式，同时也是教师教学的一种组织形式，学生的合作是否有效，同教师的参与与指导是分不开的。因此，在学生开展合作学习的时候，教师不是
新课程标准的课堂教学要让学生作为课堂教学的主体，参与到课堂教学中来，充分展现自己的个性，施展自己的才华，使学生在参与和体验的过程中真正成为学习的主人，养成勇于探索、敢于实践的个性品质。在本节课的设计上，也很好地体现了这一点，教师用问题引导方式使学生主动探究勾股定理的内容，发挥学生的主动性，课堂效率有了明显提高。
篇7：八年级数学下册《勾股定理》备课教案
一、教学目标
(一)知识目标
1、创设情境引出问题，激起学生探索直角三角形三边的关系的兴趣。
2、让学生带着问题体验勾股定理的探索过程，并正确运用勾股定理解决相关问题。 (二)能力目标
1、培养学生学数学、用数学的意识和能力。
2、能把已有的数学知识运用于勾股定理的探索过程。
3、能熟练掌握勾股定理及其变形公式，并会根据图形找出直角三角形及其三边，从而正确运用勾股定理及其变形公式于图形解决相关问题。 (三)情感目标
1、培养学生的自主探索精神，提高学生合作交流能力和解决问题的能力。
2、让学生感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生的爱国热情，培养学生的民族自豪感，教育学生奋发图强、努力学习。
二、教学重点
通过图形找出直角三角形三边之间的关系，并正确运用勾股定理及其变形公式解决相关问题。
三、教学难点
运用已掌握的相关数学知识探索勾股定理。
四、教学过程
(一)创设情境，引出问题
想一想：
小明妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗?你能解释这是为什么吗?
要解决这个问题，必须掌握这节课的内容。这节课我们要探讨的是直角三角形的三边有什么关系。
- 1 -
(二) 探索交流，得出新知
探讨之前我们一起来回忆一下直角三角形的三边：
如图，在Rt △ABC 中，∠C=90° ∠C 所对的边AB ：斜边c ∠A 所对的边BC ：直角边a ∠B 所对的边AC ：直角边b
问题：在直角三角形中，a 、b 、c 三条边之间到底存在着怎样的关系呢? (1)我们先来探讨等腰直角三角形的三边之间的关系。
这个关系25前已经有数学家发现了，今天我们把当时的情景重现，
A
C
a
B
请同学们也来看一看、找一找。
如图
数学家毕达哥拉斯的发现：S A +SB =SC
即：a 2+b2=c2
也就是说：在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
议一议：如果是一般的直角三角形，两直角边的平方和是否还会等于斜边的平方? 如图
分析： SA +SB =SC 是否成立?
(1)正方形A 中含有 个小方格，即S A = 个单位面积。 (2)正方形B 中含有 个小方格，即S B = 个单位面积。 (3)由上可得：S A +SB = 个单位面积 问题：正方形C 的面积要如何求呢?与同伴进行交流。 方法一：
“补”成一个边长为整数格的大正方形，再减去四个直角边为整数格的三角形 方法二：分割成四个直角边为整数格的三角形，再加上一个小方格。 综上：
我们得出：S A +SB =SC
即：a +b=c
2
2
2
C
- 2 -
a
B
也就是说：在一般的直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
概括：
勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
数学语言描述：
如图，在Rt △ABC 中，a 2+b2=c2
(用多媒体简单介绍勾股定理的名称由来、中国古代的数学成就及勾股定理的“无字证明”) (三)应用新知，解决问题
例1：求出下列直角三角形中未知边x 的长度 5
注意：要根据图表找出未知边是斜边还是直角边，勾股定理要用对。
从上面这两道例题，我们知道了在直角三角形中，任意已知两边，可以求第三边。 即勾股定理的变形公式： 如图，在Rt △ABC 中
(1)若已知a ，b 则求c 的公式为：c =(2)若已知a ，c 则求b 的公式为：b =(3)若已知b ，c 则求a 的公式为：a =
a +b c -a c -b
22
22
2
C
a
B
2
例2： 如图，在直角三角形ABC 中, ∠C=900, A
(1) 已知: a=5, b=12, 求c;
(2) 已知: b=8,•c=10 , 求(3) 已知: a=
3, c=2, 求 请同学们利用这节课学到的勾股定理及推论解决我们课前提出的问题：
电视屏幕：
解：在Rt △ABC 中，AB=46厘米，BC=58厘米
由勾股定理得：AC=
?
D
A
46AB
2
+BC
2
2
=46+58
2
≈74(厘米)
∴不同意小明的想法。
- 3 -
58厘米
C
(四)归纳总结
(1)这节课你学到了什么知识?
①勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 ②在直角三角形中，任意已知两边，可以用勾股定理求第三边。 (2) 运用“勾股定理”应注意什么问题? ①要利用图形找到未知边所在的直角三角形; ②看清未知边是所在直角三角形的哪一边; ③勾股定理要用对。
(五)练习巩固
(1)、如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地面8米处断裂， 树的顶部落在离树跟底部6米处，这棵树折断前有多高?
(2)、学校有一块长方形的花圃，经常有同学为了少走几步而走捷径，
于是在草坪上开辟了一条“新路”，他们这样走少走了______步.
(每两步约为1米) 3 (3)、已知：Rt △ABC 中，AB =4，AC =3, 则BC 的长为___________。 (六)作业
1. A、B 、C 组：课本第69、70页，习题18.1 第1, 2，3题. 2. A、B ：练习册33、34页
3.A ：课本第71页“阅读与思考”，了解勾股定理的多种证法。
篇8：八年级数学下册《勾股定理》备课教案
一、教学目标设置
知识与技能：
1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法。
2、了解勾股定理的内容。
3、能利用已知两边求直角三角形另一边的长。
过程与方法：
1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
2、在探索活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探索的结果。
情感与态度：
1、通过对勾股定理历史的了解，对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。
2、在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。
二 教学重、难点
重点：探索和证明勾股定理 难点：用拼图方法证明勾股定理
三、学情分析
学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。
四、教学策略
本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程。
五、教学过程
教学环节
教学内容
活动和意图
创设情境导入新课
以“航天员在太空中遇到外星人时，用什么语言进行沟通”导入新课，让孩子们尽情发挥他们的想象.而华罗庚建议可以用勾股定理的图形进行和外星人沟通，为什么呢?通过一段VCR说明原因。
[设计意图]激发学生对勾股定理的兴趣，从而较自然的引入课题。
新知探究
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。
(1)同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么?
(2)你能找出图18.1-1中正方形1、2、3面积之间的关系吗?
通过讲述故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态。
如图，每个小方格代表1个单位面积，我们分别以a,b,c三边为边长作正方形。
回答以下内容：
(1)想一想，怎样利用小方格计算正方形A、B、C面积?
(2)怎样求出正方形面积C?
(3)观察所得的各组数据，你有什么发现?
(4)将正方形A,B,C分别移开，你能发现直角三角形边长a,b,c有何数量关系?
引导学生将边不在格线上的图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面积.
问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知。
探究交流归纳
拼图验证加深理解
如图，每个小方格代表1个单位面积，我们分别以a,b,c三边为边长作正方形。
回答以下内容：
(1)想一想，怎样利用小方格计算正方形P、Q、R的面积?
(2)怎样求出正方形面积R?
(3)观察所得的各组数据，你有什么发现?
(4)将正方形P,Q,R分别移开，你能发现直角三角形边长a,b,c有何数量关系?
由以上两问题可得猜想：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
而猜想要通过证明才能成为定理
活动探究：
(1)让学生利用学具进行拼图
(2)多媒体课件展示拼图过程及证明过程理解数学的严密性。
从特殊的等腰直角三角形过渡到一般的直角三角形。
渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用;培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。
通过这些实际操作，学生进行一步加深对数形结合的理解，拼图也会产生感性认识，也为论证勾股定理做好准备。
利用分组讨论，加强合作意识。
1、经历所拼图形与多媒体展示图形的联系与区别。
2、加强数学严密教育，从而更好地理解代数与图形相结合
应用新知解决问题
在应用新知这个环节，我把以往的单纯求解边长之类的题目换成了几个运用勾股定理来解决问题的古算题。
把生活中的实物抽象成几何图形，让学生了解丰富变幻的图形世界，培养了学生抽象思维能力，特别注重培养学生认识事物，探索问题，解决实际的能力。
回顾小结整体感知
在最后的小结中，不但对知识进行小结更对方法要进行小节，还可向学生介绍了美丽的图案毕达哥拉斯树，让学生切身感受到其实数学与生活是紧密联系的，进一步发现数学的另一种美。
学生通过对学习过程的小结，领会其中的数学思想方法;通过梳理所学内容，形成完整知识结构，培养归纳概括能力。。
布置作业巩固加深
必做题：
1. 完成课本习题1, 2,3题。
2. 如图，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，这三个半圆之间面积有何关系?为什么?
选做题：
3. 课后收集勾股定理的证明方法，下节课展示。
针对学生认知的差异设计了有层次的作业题，既使学生巩固知识，形成技能，让感兴趣的学生课后探索，感受数学证明的灵活、优美与精巧，感受勾股定理的丰富文化。
篇9：八年级上册数学勾股定理知识点
八年级上册数学勾股定理知识点
1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。
勾股定理又叫毕达哥拉斯定理
2.勾股定理的逆定理：
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
3.勾股数：
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。
4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用
例题精讲：
练习：
例1：若一个直角三角形三边的.长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为
解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12
(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为
解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24
例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.
解析：第一种情况：当直角边为3和4时，则斜边为5
第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7
《点评》此题是一道易错题目，同学们应该认真审题!
例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )
A.斜边长为25
B.三角形周长为25
C.斜边长为5
D.三角形面积为20
解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择C
初中数学的方法和技巧
多做
主要是指做习题，学数学一定要做习题，并且应该适当地多做些。做习题的目的首先是熟练和巩固学习的知识;其次是初步启发灵活应用知识和培养独立思考的能力;第三是融会贯通，把不同内容的数学知识沟通起来。在做习题时，要认真审题，认真思考，应该用什么方法做?能否有简便解法?做到边做边思考边总结，通过练习加深对知识的理解。
必须要有错题本
说到错题本不少同学都觉得自己的记忆力好，不需要错题本就能记住，这是一种“错觉”，每个人都有这种感觉，等到题目增多，学习内容加深，这时就会发现自己力不从心了。
错题本能够随时记录自己的知识短板，帮助强化知识体系，有助于提升学习效率。有很多学霸都是因为积极使用了错题本，而考取了高分。
初中数学特殊三角函数值
1.cos30°=根号3/2。
2.sin260°+cos260°=1.
3.2sin30°+tan45°=2.
4.tan45°=1.
5.cos60°+sin30°=1.
篇10：八年级数学上册勾股定理知识点
八年级数学上册勾股定理知识点
1、勾股定理
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有这种关系，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数
满足的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数组有：(3，4，5);(5，12，13);(8，15，17);(7，24，25);(20，21，29);(9，40，41);……(这些勾股数组的倍数仍是勾股数)。
证明
1、对事情作出判断的句子，就叫做命题。即：命题是判断一件事情的句子。
2、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。
(1)证明三角形内角和定理的思路是将原三角形中的三个角凑到一起组成一个平角。一般需要作辅助。
(2)三角形的外角与它相邻的内角是互为补角。
3、三角形的外角与它不相邻的内角关系
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4、证明一个命题是真命题的基本步骤
(1)根据题意，画出图形。
(2)根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证。
(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。在证明时需注意：①在一般情况下，分析的过程不要求写出来。②证明中的每一步推理都要有根据。如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。
学好初中数学的方法和技巧总结
主动预习
预习的目的是主动获取新知识的过程，有助于调动学习积极主动性，新知识在未讲解之前，认真阅读教材，养成主动预习的习惯，是获得数学知识的重要手段。
因此，要注意培养自学能力，学会看书。如自学例题时，要弄清例题讲的什么内容，告诉了哪些条件，求什么，书上怎么解答的，为什么要这样解答，还有没有新的解法，解题步骤是怎样的。抓住这些重要问题，动脑思考，步步深入，学会运用已有的知识去独立探究新的知识。
让数学课学与练结合
在数学课上，光听是没用的。自己也要在草稿纸上练。当遇到不懂的难题时，一定要提出来，不能不懂装懂，否则考试遇到类似的题目就可能不会做。听老师讲课时一定要全神贯注，要注意细节问题。应抓住听课中的主要矛盾和问题，在听讲时尽可能与老师的讲解同步思考，必要时做好笔记。每堂课结束以后应深思一下进行归纳，做到一课一得。
多做
主要是指做习题，学数学一定要做习题，并且应该适当地多做些。做习题的目的首先是熟练和巩固学习的知识;其次是初步启发灵活应用知识和培养独立思考的能力;第三是融会贯通，把不同内容的数学知识沟通起来。在做习题时，要认真审题，认真思考，应该用什么方法做?能否有简便解法?做到边做边思考边总结，通过练习加深对知识的理解。
初中数据的平均数中位数与众数知识点
1.数据13,10,12,8,7的平均数是10.
2.数据3,4,2,4,4的众数是4.
3.数据1，2，3，4，5的中位数是3.
篇11：八年级数学勾股定理经典例题解析
八年级数学勾股定理经典例题解析
经典例题透析
类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c; (3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13, CD=12
∴AC2 =AD2-CD2
=132-122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2-BC2
=52-32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知：在 中， ， ， . 求：BC的长.
思路点拨：由条件 ，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于D，则有
， ，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
解析：作 于D，则因 ，
∴ ( 的两个锐角互余)
∴ (在 中，如果一个锐角等于 ，
那么它所对的直角边等于斜边的一半).
根据勾股定理，在 中，
.
根据勾股定理，在 中，
.
∴ .
举一反三【变式1】如图，已知： ， ， 于P. 求证： .
解析：连结BM，根据勾股定理，在 中，
.
而在 中，则根据勾股定理有
.
∴
又∵ (已知)，
∴ .
在 中，根据勾股定理有
，
∴ .
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= = 。
∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= = 。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB•BE- CD•DE=
类型三：勾股定理的实际应用
(一)用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
(1)求A、C两点之间的距离。
(2)确定目的地C在营地A的什么方向。
解析：(1)过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得：BC=500m，AB=
由勾股定理可得：
所以
(2)在Rt△ABC中，
∵BC=500m，AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB， 与地面交于H.
解：OC=1米 (大门宽度一半)，
OD=0.8米 (卡车宽度一半)
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD= = =0.6米，
CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.
(二)用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.
思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论.
解析：设正方形的边长为1，则图(1)、图(2)中的总线路长分别为
AB+BC+CD=3，AB+BC+CD=3
图(3)中，在Rt△ABC中
同理
∴图(3)中的路线长为
图(4)中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH=CH
由∠FBH= 及勾股定理得：
EA=ED=FB=FC=
∴EF=1-2FH=1-
∴此图中总线路的长为4EA+EF=
3>2.828>2.732
∴图(4)的连接线路最短，即图(4)的架设方案最省电线.
举一反三
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.
解：
如图，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=10cm， 根据勾股定理得
(提问：勾股定理)
∴ AC= = = ≈10.77(cm)(勾股定理).
答：最短路程约为10.77cm.
类型四：利用勾股定理作长为 的线段
5、作长为 、、的线段。
思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于 ，直角边为 和1的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 。
作法：如图所示
(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB，使AB为斜边;
(2)以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角 。斜边为 ;
(3)顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边 、、、的长度就是
、、、。
举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。
解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为 。
类型五：逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1.原命题：猫有四只脚.(正确)
2.原命题：对顶角相等(正确)
3.原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.(正确)
4.原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.(正确)
思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。
解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫(不正确)
2. 逆命题：相等的角是对顶角(不正确)
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(正确)
4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.(正确)
总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。
解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。
∴ a=3，b=4，c=5。
∵ 32+42=52,
∴ a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
【答案】：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)
【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.
分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可
证明：
所以△ABC是直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF= AB。
请问FE与DE是否垂直?请说明。
【答案】答：DE⊥EF。
证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a,
∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
连接DF(如图)
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
∴ DF2=EF2+DE2,
∴ FE⊥DE。
经典例题精析
类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。
解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：
(3x)2+(4x)2=202
化简得x2=16;
∴直角三角形的面积= ×3x×4x=6x2=96
总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。
举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D
则：BD= BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)
∵AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)
∴BD=1
在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2-BD2=4-1=3
∴AD=
S△ABC= BC•AD=
注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为 a。
【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：
由(1)得：x+y=7，
(x+y)2=49，x2+2xy+y2=49 (3)
(3)-(2)，得：xy=12
∴直角三角形的面积是 xy= ×12=6(cm2)
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。
思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。
解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：
(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2
化简得：n2=4
∴n=±2，但当n=-2时，n+1=-1<0，∴n=2
总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。
【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40
解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2-a2=(c-a)(c+a)来判断。
例如：对于选择D，
∵82≠(40+39)×(40-39)，
∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。
同理可以判断其它选项。 【答案】：A
【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
解：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB•BC+ AC•CD=36
类型二：勾股定理的应用
2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响?请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒?
思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
解析：作AB⊥MN，垂足为B。
在 RtΔABP中，∵∠ABP=90°，∠APB=30°， AP=160，
∴ AB= AP=80。 (在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半)
∵点 A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC=100(m)，
由勾股定理得： BC2=1002-802=3600,∴ BC=60。
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD=100(m)，BD=60(m),
∴CD=120(m)。
拖拉机行驶的速度为 : 18km/h=5m/s
t=120m÷5m/s=24s。
答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。
总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。
举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m)，却踩伤了花草。
解析：他们原来走的路为3+4=7(m)
设走“捷径”的路长为xm，则
故少走的路长为7-5=2(m)
又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4
【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。
(1)直接写出单位正三角形的高与面积。
(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?平行四边形ABCD的面积是多少?
(3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。
【答案】(1)单位正三角形的高为 ，面积是 。
(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积 。
(3)过A作AK⊥BC于点K(如图所示)，则在Rt△ACK中， ，
，故
类型三：数学思想方法(一)转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5.求线段EF的长。
思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD.
解：连接AD.
因为∠BAC=90°，AB=AC. 又因为AD为△ABC的中线，
所以AD=DC=DB.AD⊥BC.
且∠BAD=∠C=45°.
因为∠EDA+∠ADF=90°. 又因为∠CDF+∠ADF=90°.
所以∠EDA=∠CDF. 所以△AED≌△CFD(ASA).
所以AE=FC=5.
同理：AF=BE=12.
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：
，所以EF=13。
总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。
(二)方程的思想方法
4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°， ，求 、、的值。
思路点拨：由 ，再找出 、的关系即可求出 和 的值。
解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，
则 ，由勾股定理，得 。
因为 ，所以 ，
， ， 。
总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，
在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，
所以 。 所以 。
设 ，则 。
在Rt△ECF中， ，即 ，解得 。
即EF的长为5cm。
篇12：八年级下册数学勾股定理知识点
八年级下册数学勾股定理知识点
勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么.
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的方作比较，若它们相等时，以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形;若，时，以a，b，c 为三边的三角形是钝角三角形;若，时，以a，b，c 为三边的三角形是锐角三角形;
②定理中a，b，c 及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c 满足，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边.
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
质数和合数应用
1、质数与密码学：所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中(实为寻找素数的过程)，将会因为找质数的过程(分解质因数)过久，使即使取得信息也会无意义。
2、质数与变速箱：在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。
数学的方法技巧整理
预习的方法
上课之前一定要抽时间进行预习，有时预习比做作业更重要，因为通过预习我们可以初步掌握课程的大致内容，听课就能够把握好重点，针对性比较强，还会带着问题去听课，听课效率就会比较高，上课听明白了，完成作业也会更好更快，最终会形成良性循环。
听懂课的习惯
注意听教师每节课强调的学习重点，注意听对定理、公式、法则的引入与推导的方法和过程，注意听对例题关键部分的提示和处理方法，注意听对疑难问题的解释及一节课最后的小结，这样，抓住重、难点，沿着知识的发生发展的过程来听课，不仅能提高听课效率，而且能由“听会”转变为“会听”。
不断练习
不断练习是指多做数学练习题。希望学好数学，多做练习是必不可少的。做练习的原因有以下三点：第一，熟练和巩固学到的数学知识;二，引导同学灵活运用所学知识点以及独立思考独立做题的水平;第三，融会贯通。通过做题将所学的所有知识点结合起来，加深同学对数学体系化的理解。
及时小结，温故知新
一要进行复习小结，及时再现当天或本单元所学的知识;二要积累资料进行整理。可将平时作业、小测验中技巧性强的、易错的题目及时收集成册——错题本，便于复习时参考。
