概率论答案
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篇1：概率论知识点及习题答案
概率论知识点整理及习题答案
第一章 随机事件与概率
1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？
它们的联系与区别是：
（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。
（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。
（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，=A、AU= 、AI=φ。
2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？
两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发生的概率。而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。
3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？
所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用 来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作 。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质
随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的.。例如：
（1）={3，4，5，L，18}。
（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ={0，1，2，3}。
在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。
4．频率与概率有何联系与区别？
事件A的概率是指事件A在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为：
概率的公理化定义：设E为随机试验， 为它的样本空间，对E中的每一个事件A都赋予一个实数，记为P(A)，且满足
（1）非负性：0≤P(A)≤1；
（2）规范性：P( )=1；
（3）可加性：若A1,A2,L,An,L两两互不相容，有P(UAi)=∑P(Ai)。
i=1i=1∞∞
则称P(A)为事件A的概率。
而事件A的频率是指事件A在n次重复试验中出现的次数n(A)与总的试验次数n之比，即n(A)为n次试验中A出现的频率。因此当试验次数n为n
有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件A一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。
不过由大数定律保证，频率总能稳定在某个固定数P(A)周围，并且
→∞fn(A) n →P(A)，即频率总有稳定值。该稳定值P(A)称为事件A的概率。
有此得到概率的统计性定义：
在不变条件下做大量重复试验，称在重复试验中事件A发生的频率的稳定值p为事件A的概率，记为P(A)。
概率P(A)的性质如下：
（1）P(φ)=0。
（2）若A1,A2,L,An两两互不相容，则P(UAi)=∑P(Ai)。
i=1i=1nn
（3）若A的对立事件记为，则P(A)=1 P。
（4）若A B，则P(B A)=P(B) P(A)，且P(A)≤P(B)。
（5）P(AUB)=P(A)+P(B) P(AB)。
此性质可推广到任意有限个事件A1,A2,L,An，即
P(A1UA2UA3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) P(A1A2) P(A1A3)
P(A2A3)+P(A1A2A3)。
P(UAi)=∑P(Ai) ∑P(AiAj)+
i=1i=1i 熟练掌握概率的诸条性质，有利于简化复杂事件的概率计算，尤其要善于利用性质3，把复杂事件的概率计算转化为计算逆事件的概率。 5．条件概率与无条件概率有何区别与联系？ 无论是无条件概率还是条件概率都必需满足公理化定义。由条件概率定 $P(AB)/P(B)P(B)>0，则称P(A|B)=义（若A、B为样本空间 中的两个事件， 为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。）可以看出P(A|B)是在事件“B发生”的条件（新条件）下事件A发生的概率，它与无条件概率（普通概率）P(A)的区别，就在于后者发生的条件，还是原来的条件（概率公理化定义中的条件）。这里所谓“无条件”是指“无新条件”，原来的条件并非可无。 无条件概率P(A)是在原来的样本空间中计算事件A发生的概率，而条件概率P(A|B)可看作事件B发生后，在缩小的样本空间中计算事件A发生的概率。因此求条件概率的一般方法如下： （1）事件B发生后，在缩小的样本空间中计算事件A发生的概率P(A|B)； （2）在样本空间中先计算P(AB)、P(B)，再按定义计算P(A|B)。 当两个事件A、B相互独立时（事件A是否发生不影响事件B发生的概率），有P(AB)=P(A)P(B)，此时P(A|B)=P(A)，即在事件A、B相互独立条件下无条件概率与条件概率是一样的。 6．如何使用全概率公式和Bayes公式? 全概率公式与Bayes公式应用起来较为复杂，但应用比较广泛。在分析应用全概率公式过程中，它把事件A的概率（不太好求）分解成几个比较容易计算的事件概率之和，形似繁琐，实则简单。其关键是寻找一组两两互不相容事件A1，A2，L，An，使要研究的事件A UAi，即 i=1n A=AA1UAA2ULUAAn，从而使问题转化为求一组两两互不相容的简单事件AA1，AA2，L，AAn的概率，然后用一次加法公式及乘法公式即可。或者把Ai看成A发生的原因，A是结果。而P(Ai)及P(A|Ai)（i=1，2，L，n）是较容易求得的，于是可有“原因”求“结果”。∑P(Ai)=1往往成为是否找对i=1n A1，A2，L，An的检验方法。如何找A1，A2，L，An要具体问题具体分析，现提出两点供参考： （1）A1，A2，L，An可看成导致事件A发生的一组原因，若事件A表示次品，则A1，A2，L，An必表示n个（台）工厂（车间、机器）生产了次品；若事件A表示某种疾病，则必是n种病因A1，A2，L，An导致A发生。这些A1，A2，L，An的概率已知或容易求出，且在A1，A2，L，An发生的条件下A 发生的条件概率已知或容易求出，便可用全概率公式求A的概率。 （2）A1，A2，L，An是导致事件B发生的原因，各种原因的概率P(Ai)称为先验概率，一般由实际或经验给出。而P(Ai|B)是试验之后，找某种原因发生的可能性，它是后验概率，常用Bayes公式求之。因此Bayes公式有时称为后验概率公式，它实际上是条件概率。是在已知结果发生的条件下，求导 当P(A)、P(A1)及P(A|A1)致结果的某种原因的可能性大小。比如求P(A1|A)， 较容易求得时，就用Bayes公式，它是有“结果” 求“原因”。 7．n个事件相互独立与n个事件两两独立有什么联系与区别？ 由n个事件相互独立与n个事件两两独立的定义可知，后者是前者的条件，由前者可以推出后者，即相互独立 两两独立，反之不真。例如：设有四张卡片分别标以数字1，2，3，4。今任取一张，设事件A为取到1或2，事件B为取到1或3，事件C为取到1或4，则事件A、B、C两两独立，但不相互独立。 事实上，若设Ai表示取到标以数字i（i=1,2,3,4）的卡片，则P(Ai)=。因此，P(A)=P(A1UA2)=P(A1)+P(A2)=1， 214 同理，P(B)=P(C)=，而P(AB)=P[(A1UA2)I(A1UA3)]=P(A1)=1=P(A)P(B)， 412 同理，P(AC)=11=P(A)P(C)， P(BC)==P(B)P(C)， 44 1≠P(A)P(B)P(C)， 4所以事件A、B、C两两独立。而 P(ABC)=P[(A1UA2)I(A1UA3)I(A1UA4)]=P(A1)= 所以事件A、B、C不相互独立。 学好概率论的方法1：做题技巧 如何掌握做题技巧?俗话说“孰能生巧”，对于数学这门课，用另一个成语更贴切——“见多识广”。对于我们自考生而言，学习时间短，想利用“孰能生巧”不太现实，但是“见多识广”确实在短时间内可以做到。这就是说，在平时不能一味的多做题，关键是多做一些类型题，不要看量，更重要的是看多接触题目类型。同一个知识点，可以从多个角度进行考察。 有些学员由于选择辅导书的问题，同类型的题目做了很多，但是题目类型却没有接触多少。在考试的时候感觉一落千丈。那么应该如何掌握题目类型呢?我想历年的真题是我们最好的选择。 学好概率论的方法2：做题练习 平时该如何练习?提出这个问题可能很多人会感到不可思议。有一句话说得好“习惯形成性格”。这句话应用到我们的学习上也成立。这么多年以来，有些人有很好的学习习惯，尽管他的学习基础也不好，学习时间也有限，但是他们能按照自己知道的学习规律坚持学习，能够按照老师说得去思考、前进。我们大多数人都有惰性，一个题目一眼看完不会，就赶紧找答案。看了答案之后，也就那么回事，感觉明白了，就放下了。就这样“掰了很多玉米，最后却只剩下一个玉米”。 我们很清楚，最好的方法是摘一个，留一个。哪怕一路你只摘了2个，也比匆匆忙忙摘了一路，却不知道保留的人得到的多。平时做题要先多思考，多总结，做一个会一个，而且对于做过的题目要经常地回顾，这样才能掌握住知识。就我的辅导经验而言，绝大多数人还是在这个问题上出现了问题。 学好概率论注意事项 第一，我要说的是同学们在学习概率论的时候不要一头扎入古典概型的概率计算中不可自拔。概率论的第一部分就是关于古典概型与几何概型的计算问题，有很多问题是很复杂的，一旦陷入这一类问题的题海中，要么你的脑瓜会越来越聪明，要么打击你的信心，对概率论失去兴趣。一般同学都会处于后一种状态。那么怎么办呢?请转阅第二条。 第二，对概率论与数理统计的考点要整体把握。考研中，概率论的重点考查对象在于随机变量及其分布和随机变量的数字特征。所以对于第一条中所讲的古典概型与几何概型这部分，只要掌握一些简单的概率计算即可，把大量精力放在随机变量的分布上。数理统计的考查重点在于与抽样分布相关的统计量的分布及其数字特征。考研数学考试大纲数学三删除了对概率论与数理统计中的假设检验的要求，这算是较上一年大纲的一个大的变化，但如果同学们在复习的时候就是整体把握的，就会明白大纲的这点变化对自己的复习是没有影响的。这就是对一门课程整体把握的优势。 第三，在心理上重视。考研数学试题中有关概率论与数理统计的题目对大多数考生来说有一定难度，这就使得很多考完试的同学感慨万千，概率题太难了!同时也向学弟学妹们传达了概率题目难的信息。所以同学们在复习之前就已经有了先入为主的看法：概率比较难!但同学们没有注意到，在自己复习之初做的准备都是关于高等数学(微积分)的，在概率上的时间本身就不足。而且如果你的潜意识中觉得一件事情难的话，那么那件事情对你来说就真的很难。我一直认为，人的潜力是非常巨大的。这也与“有多少想法，就有多大成就”的说法相合。如果你相信自己，那么概率复习起来是简单的，考试中有关概率的题目也是容易的，数学满分不是没有可能的。那么，从现在开始，在心理上告诉自己：概率并不难! 随着学习的深入，我们在大二下学期开了《概率论与数理统计》这一门课。概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，其理论与方法的应用非常广泛，几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产、国民经济以及我们的日常生活。学习这门课，不仅能培养我们的理论学习能力，也能在日后给科研及生活提供一种解决问题的工具。 说实话，这门课给我的第一印象就是它可能很难很抽象，很难用于实际生活中，并且对于这门课的安排与流程我并没有太确切的认识。但在第一节课上听了老师的讲解我才理出了一些头绪。这门课分为概率论与数理统计两个部分，其中概率论部分又是数理统计的基础。我们所要课程就是围绕着这两大部分来学习的。 如今经过了一学期的学习，在收获了不少知识的同时也颇有些心得体会。 首先，它给我们提供了一种解决问题的的新方法。我们在解决问题不一定非要从正面进行解决。在某些情形下，我们可以进行合理的估计，然后再去解决有关的问题。并且，概率论的思维方式不是确定的，而是随机的发生的思想。 其次，在这门课程学习中，我意识到其实概率论与数理统计才是与生活紧密相连的。它用到高数的计算与思想，却并不像高数那样抽象。而且老师所讲例题均与日常生产和生活相关， 让我明白了日常生产中如何应用数学原理解决问题，我想假设检验便是很好的诠释。 最后，概率论与数理统计应该被视为工具学科，因为它对其他学科的学习是不可少的。它对统计物理的学习有重要意义，同时对于学习经济学的人在探究某些经济规律也是十分重要的。 总之，通过学习这门课程，我们可以更理性的对待生活中的一些问题，更加谨慎的处理某些问题。 最后，感谢老师近半年来的辛苦教学与谆谆教导! 概率论公理化源头初探 目的 鉴于概率论公理化在概率论历史上的重要性,尝试研究其产生的`背景和过程.方法 对原始文献进行综合分析.结果 柯尔莫戈洛夫(АНКолмогоров,1903-1987)的《概率论基础》建立了概率论的公理化体系,奠定了近代概率论的基础.结论 对概率论基本概念的探讨及研究工具的改进,使得概率论成为一门严格的数学分支. 杨静,YANG Jing(北京联合大学,基础部,北京,100101)篇2：怎么学好概率论
篇3：概率论学习心得
篇4：概率论公理化源头初探
篇5：学习概率论心得
不少人特别是初学者总感到概率统计难学，不知怎么才能学好，摸不着头绪，比较着急。有人还问：学概率统计有什么窍门？总之，都渴望得到一种好的学习方法，从而学好概率统计。
概率论是研究随机现象的统计规律性的数学学科。由于问题的随机性，从这个意义上讲，也可以说有点难学。这正是不少人害怕概率的原因。但随机现象是有规律可循的，概率论正是研究它的这种规律性的，只要抓住它的规律，概率论也就不难学了。
学习概率统计要抓三个基本：基本概念，基本方法，基本技巧。
基本概念包括基本定义，基本原理和定理。特别要注意如何将实际问题转化成概率模型。这就要求对实际问题的性质，特点和概率论的概率都有充分的了解和认识，这样才能将两者互相联系起来，建立实际问题的
数学模型，然后用概率论的方法解决问题。
基本方法包括基本的分析问题的方法，基本公式和基本的计算方法，这是解决问题必不可少的。它建立在对基本概率充分理解的掌握和基础上，什么样的模型用什么样的方法，这是必须搞清的。
基本技巧，实际上就是灵活巧妙地解决问题的某些方法，基本方法运用掌握的好，也能总结出一些基本技巧。基本技巧对提高学习效率是有好处的。
学习概率统计的方法要注意三多：多思，多练，多比。
多思，就是多想，多动脑筋，包括从多方面想。问题多是比较复杂的，只有多思多想，从多方面想，正着想，反着想，反复地想，才能悟出问题的实质。
多练：多练的直接意思就是多做题，做足够数量的题目，特别是不同类型的题目。必须有足够的数量，才能达到对问题的方法，熟能生巧，但多练时也要多思多想，光练不想是不行的。这里要特别提出一题多解的方法，就是一个题目要尽量多想出一些不同的方法来解决。这是一种效率高，效果好的学习方法，对提高能力，开放智力大有好处。多练时还要多总结，及时总结。
多比：多比就是多比较。同类型的问题的比较，不同类型问题的比较，自己的方法和书上的比较，和老师比较，和同学比较，等等，总之，可多方面比较，有比较才有鉴别，有比较才能有提高。这里特别提一下模仿。模仿是一种方法，也是一种能力，特别对学习困难的同学来说模仿是很有必要，很重要的。通过模仿入门，通过模仿掌握方法。当然，光模仿是不行的，要通过模仿学到知识，提高能力，达到能自主解决问题的程度。
三个基本和三多也是密切相连的，要掌握三个基本必须经过三多。基本概念要多思多想才能深刻地认识，也要多练多比才能得到加深和巩固。基本方法，基本技巧经过多练才能掌握，多练过程中也要多想多比才能掌握得更牢固，进而还可能提出更好的方法。
总之，三多是掌握三个基本的好方法。紧紧抓住三个基本，充分利用三多，就一定能把概率统计学好。
篇6：学习概率论心得
“概率论与数理统计”的学习应注重的是概念的理解，而这正是广大学生所疏忽的，在复习时几乎有近一半以上学生对“什么是随机变量”、“为什么要引进随机变量”仍说不清楚。对于涉及随机变量的独立，不相关等概念更是无从着手，这一方面是因为高等数学处理的是“确定”的事件。如函数y=f（x），当x确定后y有确定的值与之对应。而概率论中随机变量X在抽样前是不确定的，我们只能由随机试验确定它落在某一区域中的概率，要建立用“不确定性”的思维方法往往比较困难，如果套用确定性的思维方法就会出错。由于基本概念没有搞懂，即使是十分简单的题目也难以得分。从而造成低分多的现象。另一方面由于概率论中涉及的计算技巧不多，除了古典概型，几何概型和计算二维随机变量的函数分布时如何确定积分上、下限有一些计算的难点，其他的只是数值或者积分、导数的计算。因而如果概念清楚，那么解题往往很顺利且易得到正确答案，这正是高分较多的原因。
根据上面分析，启示我们不能把高等数学的学习方法照搬到“概率统计”的学习上来，而应按照概率统计自身的特点提出学习方法，才能取得“事半功倍”的效果。下面我们分别对“概率论”和“数理统计”的学习方法提出一些建议。
一、学习“概率论”要注意以下几个要点
1. 在学习“概率论”的过程中要抓住对概念的引入和背景的理解，例如为什么要引进“随机变量”这一概念。这实际上是一个抽象过程。正如小学生最初学数学时总是一个苹果加2个苹果等于3个苹果，然后抽象为1+2=3.对于具体的随机试验中的具体随机事件，可以计算其概率，但这毕竟是局部的，孤立的，能否将不同随机试验的不同样本空间予以统一，并对整个随机试验进行刻画？随机变量X（即从样本空间到实轴的单值实函数）的引进使原先不同随机试验的随机事件的概率都可转化为随机变量落在某一实数集合B的概率，不同的随机试验可由不同的随机变量来刻画。 此外若对一切实数集合B，知道P（X∈B）。 那么随机试验的任一随机事件的概率也就完全确定了。所以我们只须求出随机变量X的分布P（X∈B）。 就对随机试验进行了全面的刻画。它的研究成了概率论的研究中心课题。故而随机变量的引入是概率论发展历史中的一个重要里程碑。类似地，概率公理化定义的引进，分布函数、离散型和连续型随机变量的分类，随机变量的数学特征等概念的引进都有明确的背景，在学习中要深入理解体会。
2. 在学习“概率论”过程中对于引入概念的.内涵和相互间的联系和差异要仔细推敲，例如随机变量概念的内涵有哪些意义：它是一个从样本空间到实轴的单值实函数X（w），但它不同于一般的函数，首先它的定义域是样本空间，不同随机试验有不同的样本空间。而它的取值是不确定的，随着试验结果的不同可取不同值，但是它取某一区间的概率又能根据随机试验予以确定的，而我们关心的通常只是它的取值范围，即对于实轴上任一B，计算概率P（X∈B），即随机变量X的分布。只有理解了随机变量的内涵，下面的概念如分布函数等等才能真正理解。又如随机事件的互不相容和相互独立两个概念通常会混淆，前者是事件的运算性质，后者是事件的概率性质，但它们又有一定联系，如果P（A）。P（B）＞0，则A，B独立则一定相容。类似地，如随机变量的独立和不相关等概念的联系与差异一定要真正搞懂。
3. 搞懂了概率论中的各个概念，一般具体的计算都是不难的，如F（x）=P（X≤x），EX，DX等按定义都易求得。计算中的难点有古典概型和几何概型的概率计算，二维随机变量的边缘分布fx（x）=∫－∞∞
f（x，y）dy，事件B的概率P（（X，Y）∈B）=∫∫Bf（x，y）dxdy，卷积公式等的计算，它们形式上很简单，但是由于f（x，y）通常是分段函数，真正的积分限并不再是（－∞，∞）或B，这时如何正确确定事实上的积分限就成了正确解题的关键，要切实掌握。
4. 概率论中也有许多习题，在解题过程中不要为解题而解题，而应理解题目所涉及的概念及解题的目的，至于具体计算中的某些技巧基本上在高等数学中都已学过。因此概率论学习的关键不在于做许多习题，而要把精力放在理解不同题型涉及的概念及解题的思路上去。这样往往能“事半功倍”。
二、学习“数理统计”要注意以下几个要点
1. 由于数理统计是一门实用性极强的学科，在学习中要紧扣它的实际背景，理解统计方法的直观含义。了解数理统计能解决那些实际问题。对如何处理抽样数据，并根据处理的结果作出合理的统计推断，该结论的可靠性有多少要有一个总体的思维框架，这样，学起来就不会枯燥而且容易记忆。例如估计未知分布的数学期望，就要考虑到① 如何寻求合适的估计量的途径，②如何比较多个估计量的优劣？这样，针对①按不同的统计思想可推出矩估计和极大似然估计，而针对②又可分为无偏估计、有效估计、相合估计，因为不同的估计名称有着不同的含义，一个具体估计量可以满足上面的每一个，也可能不满足。掌握了寻求估计的统计思想，具体寻求估计的步骤往往是“套路子”的，并不困难，然而如果没有从根本上理解，仅死背套路子往往会出现各种错误。
2. 许多同学在学习数理统计过程中往往抱怨公式太多，置信区间，假设检验表格多而且记不住。事实上概括起来只有八个公式需要记忆，而且它们之间有着紧密联系，并不难记，而区间估计和假设检验中只是这八个公式的不同运用而已，关键在于理解区间估计和假设检验的统计意义，在理解基础上灵活运用这八个公式，完全没有必要死记硬背。
篇7：学习概率论心得
率论和数理统计的思想方法已经渗透到自然科学和社会科学的许多领域，应用范围相当广泛。所以概率论的学习对我们来说很重要，而我们该去如何学好概率论那?
一学期的概率论学习很快就过去了，经过了一个学期的概率论学习，让我了解到概率论是一门逻辑性很强的学科，学好概率论可以提高分析问题、解决问题，搜集和处理信息的能力。怎样才能学好概率论？可从以下方面着手。上课认真听讲，课后及时复习。适当做题，养成良好的解题习惯。学习新知识，要特别重视课上的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同，同时要注意做笔记。课后做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，不要边做题边翻课本，那样只是暂时的明白，离开书什么也不知道，认真独立完成作业，勤于思考。还应该自己独自认真分析题目，尽量自己解决所有老师安排的习题，适当还做点相关资料。经常进行整理和归纳总结。 要多做题目，熟悉各种题型。首先要从基础题入手，以课本上的例习题为准，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己分析、解决问题的能力。对于一些易错题，要备有错题本，记下自己的错误解法并且写上正确的解法，两者比较找出自己的错误所在，及时更正。平时要养成良好的解题习惯，让自己的精力高度集中，思维敏捷。如果平时解题时随便、粗心、大意等，所以在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。
学习兴趣是学生心理上的一种学习需要，而学习需要是学习动机的主要因素，学习动机则是进行学习的内驱力。概率论作为文化基础课，多数学生认为其课抽象、枯燥无味，无新鲜感而应用价值很大。激发起学习的兴趣，这样会有高的学习质量。因此在概率论的学习过程中，要始终注意培养学习的兴趣，使自己既学到必要的知识，又享受到一定的学习乐趣，达到提高学习质量的目的。然而各门课程的特点不同，培养自己学习兴趣的途径和方法也不尽相同，但是深入钻研教材，根据教材的内容和特点，挖出潜在的有利于培养自己学习兴趣的积极因素并加以充分利用，这一点是共同的。由于《概率论与数理统计》所研究的问题渗透到我们生活的方方面面，每一个理论都有其直观背景。因此，在学习中，应该致力于从多方面入手，去激发自己的兴趣，使自己在体会每个基本概念、定理和公式的产生过程中，掌握概率论与数理统计解题的思想和方法。学生实际上处于一种被动接受教师所提供知识的地位，所以我们要主动去提高自己的自学能力，培养了自己分析、辩论、理论联系实际、与他人合作等综合能力。总之，在概率论与数理统计学习中，教师“施教之功，贵在引导”，即引导学生去发现生活中的随机现象所隐藏的规律性，掌握概率论与数理统计研究问题的方法，而重点还在于我们自己。
概率论与数理统计是一门有着广泛应用的数学学科，因此在教学中我们应准确把握这门课与自己所学专业的结合点，突出其应用性。在学习过程中，将统计理论与实际问题相结合，培养自己用所学的知识去解决具体实际问题的能力及理论联系实际的作风，从而使自己进一步深化理解统计中的基本概念和基本原理。用时也要培养自己的综合素质和创新能力，仅靠课内教学是不可能完全掌握的。在学习中，要紧紧围绕自己的目标，把课内教学和课外活动作为一个整体来考虑，进行优化设计，形成结合。学生自主成立的概率论与数理统计课外兴趣小组。小组活动的宗旨，是利用课余时间，通过定期组织活动，激发大家的学习兴趣，探讨热点、难点问题，加深对理论知识的学习和理解，拓宽知识面，锻炼思考问题和研究问题的能力。组织课外兴趣小组这种方法对于提高学习效果，提高学员综合素质和创新能力有显著成效。
经过老师和学生自己的共同努力，相信一定会在学习概率论中取得好的成效的。
篇8：学习概率论心得
院 校 北京化工大学
专 业 工商管理（人力资源方向）
姓 名 史伟
学 号 011
时 间 201X年11月20日 成 绩
这学期学习《概率论与数理统计》这门课，在高中的时候，我们就接触过简单的概率，知道事物的随机现象，即条件相同，事情的结果却不确定，这种不确定现象就叫做随机现象。这个课程内容分为两个部分：概率论和数理统计。这两部分有着紧密的联系。在概率论中，我们研究的的随机变量，都是在假定分布已知的情况下研究它的性质和特点；而在数理统计中，是在随机变量分布未知的前提下通过对所研究的随机变量进行重复独立的观察，并对观察值对这些数据进行分析，从而对所研究的随机变量的分布做出推断。因此，概率论可以说是数理统计的基础。
一、学习价值
通过简单的学习，我掌握到，概率统计是真正把实际为题转化为数学问题的学问， 因为它解决的并不是单纯的数学问题，而且不是给你一个命题让你去解决，是让你去构思命题，进而构建模型来想法设法解决实际问题。在实际应用中，就更加需要去想、去假设，对问题需要有更深层次的思考，因此使概率论和数理统计这门课学起来比微积分和线性代数更加吃力，但也比它们更加实用，更贴近实际。
概率论产生于十七世纪，本来是由保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了 a (a 三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。 近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学如信息论、对策论、排队论、控制论、等，都是以概率论作为基础的。 概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科。但是应该指出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包括的不同内容。 概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。 数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。 统计方法——是一上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的的理论根据、数学论证。 应该指出，概率统计在研究方法上有它的特殊性，和其它数学学科的主要不同点有： 第一，由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理的，这些定义、公理、定理是来源于自然界的随机规律，但这些定义、公理、定理是确定的，不存在任何随机性。 第二，在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法。这是因为它研究的对象——随机现象的范围是很大的，在进行试验、观测的时候， 不可能也不必要全部进行。但是由这一部分资料所得出的一些结论，要全体范围内推断这些结论的可靠性。 第三，随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的。而真正得出结果后，对于每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。 让我比较感兴趣的是，概率统计在实际中的应用。例如一个公司的决策，就需要用到概率统计。一个公司如果投产，通过对设备生产能力，对市场估计，与如果不投产，对设备生产能力和市场估计的比较。最终做出公司是否投产的决策。 通过这种方法，可以很快的找到怎样投资怎么去决策利益最大。 二、学习方法和注意点 学习概率论与数理统计需要注意很多东西，以下就是我从其他参考书上学习到的。 （一）、学习“概率论”要注意以下几个要点 1.在学习“概率论”的过程中要抓住对概念的引入和背景的理解，例如为什么要引进“随机变量”这一概念。这实际上是一个抽象过程。正如小学生最初学数学时总是一个苹果加2个苹果等于3个苹果，然后抽象为1+2=3.对于具体的随机试验中的具体随机事件，可以计算其概率，但这毕竟是局部的，孤立的，能否将不同随机试验的不同样本空间予以统一，并对整个随机试验进行刻画？随机变量X(即从样本空间到实轴的单值实函数)的引进使原先不同随机试验的随机事件的概率都可转化为随机变量落在某一实数集合B的概率，不同的随机试验可由不同的随机变量来刻画。 此外若对一切实数集合B，知道P(X∈B)。那么随机试验的任一随机事件的概率也就完全确定了。所以我们只须求出随机变量X的分布P(X∈B)。 就对随机试验进行了全面的刻画。它的研究成了概率论的研究中心课题。故而随机变量的引入是概率论发展历史中的一个重要里程碑。类似地，概率公理化定义的引进，分布函数、离散型和连续型随机变量的分类，随机变量的数学特征等概念的引进都有明确的背景，在学习中要深入理解体会。 2. 在学习“概率论”过程中对于引入概念的内涵和相互间的联系和差异要仔细推敲，例如随机变量概念的内涵有哪些意义：它是一个从样本空间到实轴的单值实函数X(w)，但它不同于一般的函数，首先它的定义域是样本空间，不同随机试验有不同的样本空间。而它的取值是不确定的，随着试验结果的不同可取不同值，但是它取某一区间的概率又能根据随机试验予以确定的，而我们关心的通常只是它的取值范围，即对于实轴上任一B，计算概率P(X∈B)，即随机变量X的分布。只有理解了随机变量的内涵，下面的概念如分布函数等等才能真正理解。又如随机事件的互不相容和相互独立两个概念通常会混淆，前者是事件的运算性质，后者是事件的概率性质，但它们又有一定联系，如果P(A)。P(B)＞0，则A，B独立则一定相容。类似地，如随机变量的独立和不相关等概念的联系与差异一定要真正搞懂。 3. 搞懂了概率论中的各个概念，一般具体的计算都是不难的，如F(x)=P(X≤x)，EX，DX等按定义都易求得。计算中的难点有古典概型和几何概型的概率计算，二维随机变量的边缘分布fx(x)=∫-∞∞ f(x，y)dy，事件B的概率P((X，Y)∈B)=∫∫Bf(x，y)dxdy，卷积公式等的计算，它们形式上很简单，但是由于f(x，y)通常是分段函数，真正的积分限并不再是(-∞，∞)或B，这时如何正确确定事实上的积分限就成了正确解题的关键，要切实掌握。 4. 概率论中也有许多习题，在解题过程中不要为解题而解题，而应理解题目所涉及的概念及解题的目的，至于具体计算中的某些技巧基本上在高等数学中都已学过。因此概率论学习的关键不在于做许多习题，而要把精力放在理解不同题型涉及的概念及解题的思路上去。这样往往能“事半功倍”。 （二）、学习“数理统计”要注意以下几个要点 1. 由于数理统计是一门实用性极强的学科，在学习中要紧扣它的实际背景,理解统计方法的直观含义.了解数理统计能解决那些实际问题.对如何处理抽样数据,并根据处理的结果作出合理的统计推断,该结论的可靠性有多少要有一个总体的思维框架,这样,学起来就不会枯燥而且容易记忆.例如估计未知分布的数学期望,就要考虑到① 如何寻求合适的估计量的途径,②如何比较多个估计量的优劣?这样,针对①按不同的统计思想可推出矩估计和极大似然估计,而针对②又可分为无偏估计、有效估计、相合估计,因为不同的估计名称有着不同的含义,一个具体估计量可以满足上面的每一个,也可能不满足.掌握了寻求估计的统计思想,具体寻求估计的步骤往往是“套路子”的,并不困难,然而如果没有从根本上理解,仅死背套路子往往会出现各种错误. 2. 许多同学在学习数理统计过程中往往抱怨公式太多,置信区间,假设检验表格多而且记不住.事实上概括起来只有八个公式需要记忆,而且它们之间有着紧密联系,并不难记,而区间估计和假设检验中只是这八个公式的不同运用而已,关键在于理解区间估计和假设检验的统计意义,在理解基础上灵活运用这八个公式,完全没有必要死记硬背。 概率论知识总结 第一章 概率论的基本概念 1. 随机试验 确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。 随机现象： 在个别实验中呈现不确定性，在大量实验中呈现统计规律性，这种现象称 为随机现象。 随机试验：为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。 随机试验的特点：1)可以在相同条件下重复进行; 2)每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能 结果; 3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现; 2. 样本空间、随机事件 样本空间：我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本点：构成样本空间的元素，即E中的每个结果，称为样本点。 事件之间的基本关系：包含、相等、和事件(并)、积事件(交)、差事件(A-B：包含A 不包含B)、互斥事件(交集是空集，并集不一定是全集)、对立 事件(交集是空集，并集是全集，称为对立事件)。 事件之间的运算律：交换律、结合律、分配率、摩根定理(通过韦恩图理解这些定理) 3. 频率与概率 频数：事件A发生的次数 频率：频数/总数 概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这个值就是概率。 概率的特点：1)非负性。2)规范性。3)可列可加性。 概率性质：1)P(空集)=0，2)有限可加性，3)加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B) -P(AB) 4. 古典概型 学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率(彩票问题，超几何分布，分配问题， 插空问题，捆绑问题等等) 5. 条件概率 定义：A事件发生条件下B发生的概率P(B|A)=P(AB)/P(A) 乘法公式：P(AB)=P(B|A)P(A) 全概率公式与贝叶斯公式 6. 独立性检验 设 A、B是两事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。 第二章.随机变量及其分布 1. 随机变量 定义：设随机试验的样本空间为S={e}. X=X(e)是定义在样本空间S上的单值函数，称 X=X(e)为随机变量。 2. 离散型随机变量及其分布律 三大离散型随机变量的分布 1)(0——1)分布。E(X)=p, D(X )=p(1-p) 2)伯努利试验、二项分布 E(X)=np, D(X)=np(1-p) 3) 泊松分布 P(X=k)= (?^k)e^(- ?)/k! (k=0,1,2,……) E(X)=?，D(X)= ? 注意：当二项分布中n 很大时，可以近似看成泊松分布，即np= ? 3. 随机变量的分布函数 定义：设X是一个随机变量，x是任意的实数，函数 F(x)=P(X≤x),x属于R 称为X的分布函数 分布函数的性质： 1) F(x)是一个不减函数 2) 0≤F(x)≤1 离散型随机变量的分布函数的求法(由分布律求解分布函数) 连续性随机变量的分布函数的求法(由分布函数的图像求解分布函数，由概率密度求 解分布函数) 4. 连续性随机变量及其概率密度 连续性随机变量的分布函数等于其概率密度函数在负无穷到x的变上限广义积分 相反密度函数等与对应区间上分布函数的导数 密度函数的性质：1)f(x)≥0 2) 密度函数在负无穷到正无穷上的广义积分等于1 三大连续性随机变量的分布: 1)均与分布 E(X)=(a+b)/2 D (X)=[(b-a)^2]/12 2)指数分布 E(X)=θ D(X)=θ^2 3)正态分布一般式(标准正态分布) 5. 随机变量的函数的分布 1)已知随机变量X的 分布函数求解Y=g(X)的分布函数 2)已知随机变量X的 密度函数求解Y=g(X)的密度函数 第三章 多维随机变量及其分布(主要讨论二维随机变量的分布) 1.二维随机变量 定义 设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x, y,二元函数 F(x, Y)=P[(X≤x)交(Y≤y)] 称为二维随机变量(X，Y)的分布函数或称为随机变量联合分布函数 离散型随机变量的分布函数和密度函数 连续型随机变量的分布函数和密度函数 重点掌握利用二重积分求解分布函数的方法 2.边缘分布 离散型随机变量的边缘概率 连续型随机变量的边缘概率密度 3.相互独立的随机变量 如果X，Y相互独立，那么X，Y的联合概率密度等于各自边缘的乘积 5. 两个随机变量的分布函数的分布 关键掌握利用卷积公式求解Z=X+Y的概率密度 第四章.随机变量的数字特征 1.数学期望 离散型随机变量和连续型随机变量数学期望的求法 六大分布的数学期望 2.方差 连续性随机变量的方差 D(X)=E(X^2)-[E (X )]^2 方差的基本性质： 1) 设C是常数，则D(C)=0 2) 设X随机变量，C是常数，则有 D(CX)=C^2D(X) 3) 设X，Y是两个随机变量，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 特别地，若X，Y不相关，则有D(X+Y)=D(X)+ D(Y) 切比雪夫不等式的简单应用 3. 协方差及相关系数 协方差：Cov(X ,Y )= E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 相关系数：m=Cov(x,y)/√D(X) √D(Y) 当相关系数等于0时,X,Y 不相关，Cov(X ,Y )等于0 不相关不一定独立，但独立一定不相关 1. 随机试验 确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。 随机现象： 在个别实验中呈现不确定性，在大量实验中呈现统计规律性，这种现象称为随机现象。 随机试验：为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。 随机试验的特点： 1）可以在相同条件下重复进行； 2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能 结果； 3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现； 2. 样本空间、随机事件 样本空间：我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本点：构成样本空间的元素，即E中的每个结果，称为样本点。 事件之间的基本关系：包含、相等、和事件（并）、积事件（交）、差事件（A-B：包含A不包含B）、互斥事件（交集是空集，并集不一定是全集）、对立事件（交集是空集，并集是全集，称为对立事件）。事件之间的运算律：交换律、结合律、分配率、摩根定理（通过韦恩图理解这些定理） 3. 频率与概率 频数：事件A发生的次数 频率：频数/总数 概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这个值就是概率。 概率的特点：1）非负性。2）规范性。3）可列可加性。 概率性质：1）P（空集）=0，2）有限可加性，3）加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB） 4. 古典概型 学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率（彩票问题，超几何分布，分配问题，插空问题，捆绑问题等等） 5. 条件概率 定义：A事件发生条件下B发生的概率P（B|A）=P（AB）/P（A） 乘法公式：P（AB）=P（B|A）P(A) 全概率公式与贝叶斯公式 6. 独立性检验 设 A、B是两事件，如果满足等式P（AB）=P（A）P（B）则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。 1. 随机变量 定义：设随机试验的样本空间为S={e}. X=X（e）是定义在样本空间S上的单值函数，称X=X（e）为随机变量。 2. 离散型随机变量及其分布律 三大离散型随机变量的分布 1）（0——1）分布。E（X）=p, D(X )=p(1-p) 2）伯努利试验、二项分布 E(X)=np, D(X)=np(1-p) 3) 泊松分布 P（X=k）= (?^k)e^(- ?)/k! (k=0,1,2,……) E（X）=?，D（X）= ? 注意：当二项分布中n 很大时，可以近似看成泊松分布，即np= ? 3. 随机变量的分布函数 定义：设X是一个随机变量，x是任意的实数，函数 F（x）=P（X≤x）,x属于R 称为X的分布函数 分布函数的性质： 1） F（x）是一个不减函数 2） 0≤F（x）≤1 离散型随机变量的分布函数的求法（由分布律求解分布函数） 连续性随机变量的分布函数的求法（由分布函数的图像求解分布函数，由概率密度求解分布函数） 4. 连续性随机变量及其概率密度 连续性随机变量的分布函数等于其概率密度函数在负无穷到x的变上限广义积分 相反密度函数等与对应区间上分布函数的导数 密度函数的性质：1）f(x)≥0 2) 密度函数在负无穷到正无穷上的'广义积分等于1 三大连续性随机变量的分布: 1)均与分布 E(X)=(a+b)/2 D (X)=[(b-a)^2]/12 2)指数分布 E（X）=θ D（X）=θ^2 3)正态分布一般式（标准正态分布） 5. 随机变量的函数的分布 1）已知随机变量X的 分布函数求解Y=g(X)的分布函数 2）已知随机变量X的 密度函数求解Y=g(X)的密度函数 第三章 多维随机变量及其分布（主要讨论二维随机变量的分布） 1.二维随机变量 定义 设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x, y,二元函数 F（x, Y）=P[(X≤x)交（Y≤y）] 称为二维随机变量（X，Y）的分布函数或称为随机变量联合分布函数离散型随机变量的分布函数和密度函数 连续型随机变量的分布函数和密度函数 重点掌握利用二重积分求解分布函数的方法 2．边缘分布 离散型随机变量的边缘概率 连续型随机变量的边缘概率密度 3.相互独立的随机变量 如果X，Y相互独立，那么X，Y的联合概率密度等于各自边缘的乘积 5. 两个随机变量的分布函数的分布 关键掌握利用卷积公式求解Z=X+Y的概率密度 第四章．随机变量的数字特征 1.数学期望 离散型随机变量和连续型随机变量数学期望的求法 六大分布的数学期望 2.方差 连续性随机变量的方差 D（X）=E（X^2）-[E (X )]^2 方差的基本性质： 1） 设C是常数，则D（C）=0 2） 设X随机变量，C是常数，则有 D（CX）=C^2D(X) 3) 设X，Y是两个随机变量，则有 D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E{（X-E（X））（Y-E（Y））} 特别地，若X，Y不相关，则有D（X+Y）=D（X）+ D（Y） 切比雪夫不等式的简单应用 3. 协方差及相关系数 协方差：Cov(X ,Y )= E{（X-E（X））（Y-E（Y））} 相关系数：m=Cov(x,y)/√D(X) √D(Y) 当相关系数等于0时,X,Y 不相关，Cov(X ,Y )等于0 不相关不一定独立，但独立一定不相关 概率论与数理统计练习题 概率论与数理统计练习题 1、设A，B为相互独立的事件，且P(A) 0.7，P(A) 0.4，则P(B) __ 2、设X~N(3, 2)，且 0.7，则P(X 0) _________ 3、设随机变量X服从参数为1的泊松分布，那么方程x2 2x X 0无实根的概率是______ 4、设X~N(0,1)，Y~N(1,1)，且X,Y独立，则P(X Y 1) ________ 5、设随机变量X的分布列为P(X i) c 3 i，i 1,2,3，则c ____ 6、已知一批零件的长度X（单位：cm）服从正态分布N( ,1)，从中抽取16个零件，得到长度的平均值为40cm，则 的置信度为0.95的.置信区间为_________ （注：标准正态分布函数值 (1.96) 0.975， (1.645) 0.95） 7、设随机变量X与Y相互独立，X在区间[2,6]上服从均匀分 -1布，Y~ 1 ，那么D(X-2Y) _________ 8.p10p21 ，且已知E(X) 0.1，p3 X8、设随机变量X的分布列为 PE(X2) 0.9，则p3 __________ 9、设总体X~N(60,152)，从总体X中抽取一个容量为100的样本，则样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率为___ 10、一批产品共20件，其中不合格品有5件，不放回地抽取3件，每次取一件，那么第3次才取到合格品的概率是__ 11、写出假设检验的步骤。 12、设随机变量X~U(0,1)，求Y 2lnX的分布函数及密度函数。 13、设总体X的密度函数为 e- x,x 0,X1,X2, Xn为其f(x, ) 0,x 0. 样本，求 的极大似然估计。 14、袋中有五个号码1,2,3,4,5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y. （1）求X与Y的联合概率分布； （2）X与Y是否相互独立？为什么？ 15、根据以往的考试结果分析，努力学习的学生中有90%的可能考试及格，不努力学习的学生中有90%的可能考试不及格。据调查，学生中有90%的人是努力学习的，求： （1）考试及格的学生中有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生中有多大可能是努力学习的人？ 1n16、设X1,X2, Xn为取自正态总体N( , )一个样本， Xi，ni 12 1n S (Xi )2分别为样本均值与样本方差，证明 n 1i 12 T ~t(n 1). 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