勾股定理的证明方法

【简介】感谢网友“cnnnma”参与投稿，以下是小编为大家准备的勾股定理的证明方法（共11篇），希望对大家有帮助。

篇1：勾股定理证明方法

【证法1】(梅文鼎证明)

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180D90= 90.

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90.

即 ∠CBD= 90.

又∵ ∠BDE = 90，∠BCP = 90，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

,

∴ .

【证法2】(项明达证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP‖BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M;再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵ ∠BCA = 90，QP‖BC，

∴ ∠MPC = 90，

∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90，

∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90，

∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90，∠BCA = 90，BQ = BA = c，

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

【证法3】(赵浩杰证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.

分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

∴FI=a，

∴G,I,J在同一直线上，

∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

∠CJB = ∠CFD = 90，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，

同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,

∵∠BCJ +∠CBJ= 90,

∴∠ABG +∠CBJ= 90,

∵∠ABC= 90,

∴G,B,I,J在同一直线上，

【证法4】(欧几里得证明)

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点

L.

∵ AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面积等于，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =.

同理可证，矩形MLEB的面积 =.

∵ 正方形ADEB的'面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ ，即 .

[编辑本段]勾股定理的别名

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前11)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我国又称“商高定理”.在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.

前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。

[编辑本段]证明

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。

篇2：勾股定理的证明方法

勾股定理的证明方法

勾股定理的证明方法

。

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。

的平方=3的平方+4的平方

在图一中，D ABC 为一直角三角形，其中 A 为直角。我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。过 A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。不难证明，D FBC 全等於 D ABD(S.A.S.)。所以正方形 ABFG 的面积 = 2 D FBC 的面积 = 2 D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的`面积。即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此证实了勾股定理。

这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分!

这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。

欧几里得(Euclid of Alexandria)约生於公元前 325 年，卒於约公元前 265 年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题 47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。

图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为 c，其余两边的长度为 a 和 b，则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有

(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2

展开得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

化简得 a2 + b2 = c2

由此得知勾股定理成立。

篇3：怎么证明勾股定理

怎么证明勾股定理

怎么证明勾股定理

设ABC为一直角三角形, 直角于角C. 从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角，而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：因为BC=a,AC=b,AB=c所以a/c=HB/a 和 b/c=AH/b可以写成a*a=c*HB 和 b*b=C*AH综合这两个方程式，我们得到a*a+b*b=c*HB+C*AH =a*a+b*b=C*(HB+AH) =a*a+b*b=c*c

2

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国(希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等) 对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前572?～公元前497?) (右图) 于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得(Euclid，公元前330～公元前275)在巨著《几何原本》(第Ⅰ卷，命题47)中给出一个很好的证明。 (左图为欧几里得和他的证明图) 中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作――《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量， 那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?” 商高回答说：“数的'产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直 角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候， 那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前11左右的西周时期， 比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。 所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。 在稍后一点的《九章算术》一书中( 约在 公元50至100年间) (右图) ，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说;“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。” 。 《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图” ，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明 (右图) 。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间的小正方形边长为b-a，则面积为(b-a) 2 。于是便可得如下的式子： 4×(ab/2)+(b-a) 2 =c 2 化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=(a 2 +b 2 ) (1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展， 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽 (右图) 用了“出入相补法”即剪N证明法，他把勾股楸叩恼方形上的某些区域剪下(出)， 移到以弦楸叩恼方形的空白区域(入)，Y果刚好填M，完全用图解法就解Q了}。 (左图为刘徽的勾股证明图) 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

篇4：勾股定理证明

勾股定理证明

勾股定理证明

中国最早的一部数学著作――《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：

周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”

商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”

从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦(c)来表示斜边，则可得：

勾2+股2=弦2

亦即：

a2+b2=c2

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例(32+42=52)。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说;“把勾和股分别自乘，然后把它们的'积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为：

弦=(勾2+股2)(1/2)

亦即：

c=(a2+b2)(1/2)

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子：

4×(ab/2)+(b-a)2=c2

化简后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=(a2+b2)(1/2)

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”。

篇5：怎样证明勾股定理

有关勾股定理知识点拓展：

勾股定理是一个基本的几何定理，在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理;三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a^+b^=c^ 。勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股数组程a2 + b2 = c2的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。

中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前11)答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得斜至日。还有的国家称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.蒋铭祖定理：蒋铭祖是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《蒋铭祖算经》中记录着商 高同周公的一段对话。

蒋铭祖说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”蒋铭祖那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长边)时，径隅(就是弦)则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的蒋铭祖定理，关于勾股定理的发现，《蒋铭祖算经》上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也;”“此数”指的是“勾三股四弦五”。这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。 毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后 的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。

直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。 两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。 利用不等式A2+B2≥2AB可以证明下面的结论： 三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比中国晚，中国是最早发现这一几何宝藏的国家。目前初二学生教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a²+b²=c²。

篇6：常见勾股定理的证明方法有哪些

作三个边长分别为a、b、c的`三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结。

BF、CD过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L

∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD

∴ΔFAB≌ΔGAD

∵ΔFAB的面积等于ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半

∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴a2+b2=c2

篇7：勾股定理数学多种证明方法论文

勾股定理数学多种证明方法论文

在同学们整个中学的学习生活和实际生活中，我们都会遇到有关直角三角形的计算和测量，那就是勾股定理的运用。我们老师不仅要教会同学们学会勾股定理数学文化知识，更重要的是要让我同学们在日常生活中去灵活运用以及有关它存在的各种数学模型中。还要能感受我们今天的学习都是古代数学家们经过大量的实践与证明的得到的东西，探索数学知识从无到有的文化。勾股定理的发现与证明都是十分精彩的，在历史长河中，勾股定理是全世界人的伟大发现。

今天我们教科书上的多种证明，在此一一列举出来，可能对同学们学习数学以及培养数学兴趣有所帮助。并在今后的学习中铺平道路，对勾股定理有趣的文化有一个更加深刻的认识。

一、勾股世界

我国是最早了解勾股定理的国家之一，在我国最古老的数学经典著作《周髀算经》上记载着这样一段历史：西周开国之初（约公元前一千多年）有一个叫商高的数学家对周公（周武王的弟弟，封在鲁国当诸候）说：把一根直尺折成直角，两端连结起来构成一个直角三角形.它的短直角边称为勾，长直角边称为股，斜边称为弦。发现如勾为3，股为4，那么弦必为5。这就是勾股定理，又称商高定理。

在西方公元前六世纪到公元前五世纪希腊数学家毕达哥拉斯也发现这一定理，并给出了证明，但他的证明也已失传。后来欧几里得写《几何原本》时，给出一个证明留传至今（后文我们再补充，丰富同学们的视野）。因而西方称这一定理为毕达哥拉斯定理。这一定理在数学上有广泛的应用，而且工程技术，测量中也有许多应用。它在人类文明史上有重要的地位。

而在中国的有一位古代数学家赵爽在继商高之后证明了勾股定理。他这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系（与我们今天教科书上一些证明方法的大致类似）。既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有所发展。稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

二、勾股定理的多种证明方法（以教科书编排为序）：

第一种证明：教科书P3，通过直接数出正方形A、B、C的小方格数，将不足一格的方格算半个。结果来看它们之间的关系。小方格数即为面积。由此方法可以得出正方形A、B的面积与正方形C的面积相等。

第二种证明：教科书P8，如图所示：

分析：正方形EFGH的面积=正方形ABCD-周围四个小三角形的面积。

计算：正方形ABCD边长为a+b，则面积为（a+b）2，小三角形的面积为，代入分析里面的公式得：（a+b）2-4？a2+b2而正方形EFGH的面积也可表示为：c2，所以：a2+b2=c2

第三种证明：教科书P8，如图所示：

分析：正方形ABCD=正方形EFGH+小正方形EFGH周围的四个小三角形的面积。

计算：正方形EFGH的边长为b-a，则面积为（b-a）2，小三角形的面积为，代入分析里面的公式得：（b-a）2+4祝ǎ？a2+b2，而正方形ABCD的面积也可表示为：c2，所以：a2+b2=c2

这里验证勾股定理的方法，据载最早是由三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。我国历史上将图中弦上的正方形称为弦图。这也是世界数学家大会（ICM-）在北京召开的会标。如右图所示中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！

第四种证明：教科书P11，是美国总统Garfield（伽菲尔德总统）于1876年给出的一种验证勾股定理的办法。整个事情经过是这样的：在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是，伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

如图所示：

分析：四边形ABED是直角梯形，可通过求梯形的面积减掉两个小三角形的面积而得出△ACB的面积。

计算：由梯形面积公式得梯形面积为[（a+b）祝╝+b）]？，△ADC与△BEC的面积和为：ab，所以△ACB的面积=梯形的面积-△ADC与△BEC的面积和，代入以上数据进行化简得：，由图中可知△ACB的面积也可以表示为。因此=，最后得出：a2+b2=c2

第五种证明：教科书P13，是历史上有名的“青朱出入图”如图所示。刘徽在他的《九章算术注》中给出了注解，大意是：△ABC直角三角形，以勾为边的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方，以盈补虚，将朱、青二方并成弦方。依其面积关系有2+b2=c2。“青朱出入图不用运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，真是“无字证明”！

第六种证明：教科书P15-16，

意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇对勾股定理也曾进行了研究。他的验证勾股定理的方法可以从下面的实验中得到体现。

（1）在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b正方形，并连接BC、FE（如图①示）。

（2）沿ABCDEFA剪下，得到两个大小相同的`纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②所示。

（3）将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成如图③所示的图形。

（4）比较图①，图③中两个多边形ABCEEF和A’B’C’D’E’F’的面积，发现两个的面积是一样的。就能得出勾股定理的存在。

本种证明补充说明一下：同样两个纸板翻了下，就能证明，很明显，原图中剪掉的两个小三角形面积都在，翻一下只不过将剪掉的两个小正方形合并为一个正方形了，从而得出勾股定理的存在。

第七种证明：教科书P16，也是“无字证明”如图所示，过较大正方形的中心，作两条互垂直的线，将其分成4份，然后，将这四个部分围在四周，小正方形填在中间，恰好得到大正方形。

第八种证明（书本上没有列出）：

欧几里德对直角三角形三边关系上有着独特的方法进行了论证，证明过程如图所示：

证明：在Rt△ABC中，∠BAC=90埃訟B、AC、BC为边向外有三个正方形：正方形ABDE，正方形ACGF，正方形BCHJ。连接DC、AJ。过A点作AN⊥JH，垂足为N，交BC于M。先通过SAS，可得△ABJ≌△DBC，因此它们的面积相等。而正方形ABDE的面积=2△DBC的面积，长方形BMNJ的面积=2△ABJ的面积。因此，正方形ABDE的面积=长方形BMNJ的面积。同理可得正方形ACGF的面积=长方形CMNH的面积。从而：BC2=AB2+AC2，即：a2+b2=c2。

三、结束语

通过以上的八种证明方法，相信同学们对于勾股定理会铭记在心，使这个烙印永远烙在心底，为数学的学习树立更为坚定的信心，为明天的学习奠定更为坚实的基础，为心中的理想目标迈出成功的一步。让这次洗礼成为中学学习生活中最为难忘的一堂课，而且在今后的运用中会更加得心应手，我也相信你们会向古代数学家们一样，遇到问题会去探索、发现、归纳和概括。

篇8：勾股定理无字证明

勾股定理无字证明

勾股定理无字证明

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊

2

刘徽在证明勾股定理时，也是用的以形证数的方法，只是具体的分合移补略有不同.刘徽的证明原也有一幅图，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂.开方除之，即弦也.”后人根据这段文字补了一张图。大意是：三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青放并成弦方。依其面积关系有a^+b^=c^.由于朱方、青方各有一部分在弦方内，那一部分就不动了。 以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以赢补虚，只要把图中朱方(a2)的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形(c的平方 ).由此便可证得a的`平方+b的平方=c的平方。 这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的。在魏景元四年(即公元 263 年)，刘徽为古籍《九章算术》作注释。在注释中，他画了一幅像图五(b)中的图形来证明勾股定理。由於他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分，又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满，所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」。亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理。

3

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。

利用相似三角形的证法

利用相似三角形证明

有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。

设ABC为一直角三角形, 直角于角C(看附图). 从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角(这又是由于“高”的定义)，而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：

因为BC=a,AC=b,AB=c

所以a/c=HB/a and b/c=AH/b

可以写成a*a=c*HB and b*b=C*AH

综合这两个方程式，我们得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c

换句话说:a*a+b*b=c*c

[*]----为乘号

篇9：勾股定理的无字证明

勾股定理的无字证明

勾股定理的无字证明

在学习勾股定理时，我们学会运用图(1)验证它的正确性;图中大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，即 由此推出勾股定理 ，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”。

(1)请你用图(2)(国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等)。

(2)请你用(3)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证 ：

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

(3)请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：

(x+p)(x+q)=x^2+px+qx+pq=x^2+(p+q)x+pq

2这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。

利用相似三角形的证法

利用相似三角形证明

有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。

设ABC为一直角三角形, 直角于角C(看附图). 从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角(这又是由于“高”的定义)，而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：

因为BC=a,AC=b,AB=c

所以a/c=HB/a and b/c=AH/b

可以写成a*a=c*HB and b*b=C*AH

综合这两个方程式，我们得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c

换句话说:a*a+b*b=c*c

[*]----为乘号

欧几里得的证法

在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。

其证明如下：

设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的'，同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC。 把这两个结果相加， AB+ AC = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB + AC = C。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

其余见： 勾股定理的美妙证明 [梁卷明网站： 梁卷明

3月24日晚，我参加了广西教研网的主题研讨活动之后，对勾股定理的证明作了进一步的研究，203月28日下午我终于发现了一个美妙的证明：

勾股定理：如图，直角三角形ABC中：AC+BC=AB.

证明：如图1,分别以AC、CB、BA为边长作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，则易知SABC≌SRBS,从而点Q必在SR上，又把梯形ABNM沿BR方向平移，使点B与点R重合,则梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置;显然SRSB≌SPTA, 如图2，再把SRSB沿BA方向平移，使点B与点A重合，则SRSB必与SPTA重合!

故有：正方形ACNM的面积+正方形CBSQ的面积=正方形BAPR的面积，即得：AC+BC=AB.

篇10： 《勾股定理的证明》教学反思

《勾股定理的证明》教学反思

本节课主要通过勾股定理的证明探索，使学生进一步理解和掌握勾股定理。通过利用质疑、拼图观察、思考、猜想、推理论证这一过程，培养学生探求未知数学知识的能力和方法，培养学生求异思维能力、认知能力、观察能力和独立实践能力。学生独立或分组进行拼图实验，教师组织学生在实验过程中发现的有价值的实验结果进行交流和展示。本节课的过程由激趣、质疑、实验、求异、探索、交流、延伸组成。

本节课的成功之处：

1、创设情景，实例导入，激发学生的学习热情。

2、由于实现了教师角色的转变，教法的创新，师生的平等，气氛的活跃，学生积极参加。

3、面向全体学生，以人为本的教育理念落实到位。整节课都是学生自主实验、自主探索，自主完成由形到数的转化。学生勇于上讲台展示研究成果，教师只是起到组织、引导作用。

4、通过学生动手实验，上台发言，展示成果，体验了成功的喜悦。学生的自信心得到培养，个性得到张扬。通过当场展示，让学生体会到动手实践在解决数学问题中的重要性，同时也让学生体会到用面积来验证公式的直观性、普遍性。

5、学生的研究成果极大地丰富了学生对勾股定理的证明的认识，学生从中获得利用已知的知识探求数学知识的能力和方法。这对学生今后的学习和将来的发展是大有裨益的。同时验证勾股定理的证明的探究，使学生形成一种等积代换的思想，为今后的学习奠定基础。

本节课的不足之处及改进思路：

1、小部分能力基础和能力都比较差的学生在探索过程中无所事事，因此教师应该在课前对不同层次的学生提出不同的要求，让每个学生多清楚地知道这节课自己的任务是什么。

2、本节课拼图验证的方法是以前学生很少接触的，所以在探索过程中很多学生都显得有些吃力。所以教师在讲方法一时，应该先介绍这种证明方法以及思路，让学生模仿第一种方法的'基础上，能轻松地总结出第二种方法，从而产生去探索更多方法的兴趣和动力，有利于学生的数学思维的提升。

3、对学生的人文教育和爱国教育不够。很多学生在探索过程中遇到困难时，选择放弃或等别人的答案。教师此时应该注意引导学生要勇于克服困难，主动进行探索，提高了自身的推理能力和创新精神。同时教师也要不断渗透爱国教育，培养学生的民族自豪感和爱国热情。

在我们的数学教学中，活动课是不可忽视的内容。在这个探索的过程中，学生绝大多数是不会创造或发明什么的，这是一个素质的表现和培养过程。学生得到什么结果是次要的，重要的是使学生的素质和能力得到培养。这是中学数学活动课的价值取向。

篇11：证明勾股定理的教案过程

一、素质教育目标

(一)知识教育点

1、用验证法发现直角三角形中存在的边的关系。

2、掌握定理证明的基本方法。

(二)能力训练点

观察和分析直角三角形中，两边的变化对第三边的影响，总结出直角三角形各边的基本关系。

(三)德育渗透点

培养学生掌握由特殊到一般的化归思想，从具体到抽象的思维方法，以及化归的思想，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃;又从一般到特殊，从抽象到具体，应用到实践中去。

二、教学重点、难点及解决办法

1、重点：发现并证明勾股定理。

2、难点：图形面积的转化。

3、突出重点，突破难点的办法：《几何画板》辅助教学。

三、教学手段 ：

利用计算机辅助面积转化的探求。

四、课时安排：

本课题安排1课时

五、教学设想：

想培养学生的思维能力，为学生提供一个丰富的思维空间，使学生能够根据“式，数、形”等不同的结构从不同的角度去分析问解决问题

六、教学过程(略)